Rectangle

Un rectangle tracé à la main

Il y a un quiz sur le rectangle.

Un rectangle est un parallélogramme qui possède un angle droit.

Propriétés

Dans un rectangle ABCD,

• Les quatre angles sont droits ;
• Les côtés opposés sont parallèles et ont les mêmes longueurs ;
• Les côtés opposés ont la même médiatrice ;
• Les diagonales et les médiatrices s'intersectent en leurs milieux ;
• Ce point d'intersection O est un centre de symétrie ;
• Les médiatrices sont des axes de symétrie.

Définition équivalente

• Un quadrilatère qui possède trois angles droits est un rectangle.
• Un quadrilatère dont les diagonales ont la même longueur et s'intersectent en leur milieu est un rectangle.

Périmètre et aire

• L'aire d'un rectangle dont les côtés ont pour longueurs a et b est : a.b.
• Le périmètre est : (a+b) fois 2.

Exemple : Un rectangle fait 8 cm de longueur sur 3 de largeur :

• Aire : 8.3 = 24 cm².
• Périmètre : (8+3).2 = 11.2 = 22 cm.

Questions :

• Pour quels rectangles l'aire est supérieure à l'aire de tout rectangle de même périmètre ?
• Pour quels rectangles le périmètre est-il inférieur au périmètre de tout rectangle de même aire ?

Réponses : Dans les deux cas, les carrés !

• Si un rectangle de côtés de longueur a et b a pour périmètre 2d, alors b=d-a. Donc, son aire vaut a* (d-a). Par l'inégalité arithmético-géométrique, l'aire est inférieure à d²/4. et strictement inférieure si a et d-a=b sont non égaux.
• Si un rectangle de côtés de longueur a et b a pour aire A, alors b=A/a. Donc son périmètre vaut a+A/a ; il est inférieur à 2sqrt (A), et est strictement inférieur si a et b sont non égaux.

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