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Logarithme

L’idée

Pour éviter certaines multiplications très compliquées, par exemple dans les calculs d’intérêt composé ou en astronomie on s’est demandé il y a longtemps si on ne pouvait remplacer les nombres a, b, c … par d’autres nombres f(a), f(b), f(c)… tels que :

$f(a\times b)=f(a)+f(b)$.

On remplacerait ainsi les multiplications par des additions plus simples.

Conditions

Comme 1×a = a, il faut que :

$f(1)=0$

et comme (a/b)× b = a il faut que f(a/b) = f(a) – f(b) et :

$f(1/b)=-f(b)$

Propriété majeure

Pour les puissances d'un nombre

$f(a^{2})=2\times f(a);f(a^{3})=3\times f(a)\cdots f(a^{b})=b\times f(a)$.

Définitions

La famille des logarithmes satisfait ces conditions pour tous les nombres réels positifs.

Logarithme

On appelle logarithme, et on note log() toute fonction f satisfaisant ces propriétés. Il en existe autant que de base B, où B est un nombre strictement positif différent de 1, avec par convention

$log_{B}(B)=1$.

Alors, pour tout x positif

$x=B^{log_{B}x}$

Antilogarithme

On appelle antilogarithme la fonction inverse d’un logarithme de base B donnée ; alors

$antilog_{B}(log_{B}(x))=x$.

Elle permet le retour au système de départ par la relation

$antilog_{B}(a)=B^{a}$.

Exemple

Soit à calculer le rayon R d'une sphère, boule ou réservoir, de volume $V={\frac {4\pi }{3}}R^{3}$, soit $R={\sqrt[{3}]{\frac {3V}{4\pi }}}$. Pour éviter le calcul de la racine cubique, avec une fonction logarithme on calcule

$q=log(R)={\frac {log(V)+log(3)-log(4)-log(\pi )}{3}}$

où la division par 3 correspond à l'extraction de la racine cubique. On revient ensuite au cadre initial par

$R=antilog(q)$

Familles de logarithmes

Selon les applications, on emploie surtout 3 bases, correspondant aux logarithmes népériens, décimaux ou binaires.

Logarithmes naturels ou népériens, notés ln

Notés ln, ces logarithmes ont été trouvés par John Napier en 1614 en cherchant des logarithmes tels que

log (1 + eps) -> eps, quand eps est très petit devant 1.

Ils ont pour base la constante e = 2,71828... , dit constante d'Euler ou de Neper (/Napier).

L’antilogarithme est alors la fonction exponentielle, notée exp(). Alors :

$exp(x)=e^{x}$ et $exp(ln(x))=x$

Ce logarithme possède de nombreuses propriétés mathématiques.

Logarithmes décimaux, notés log

Ces logarithmes ont été proposés par John Briggs à partir de 1618, et utilisent 10 comme base. Ainsi,

log(10) = 1, log (100) =2, log (1'000'000) = 6, et log(1/1000) = -3, log (1/1'000'000) = -6, log(1/1'000'000'000) =-9.

Les logarithmes décimaux représentent bien les ordres de grandeur des quantités, qu'elles soient très grandes ou très petites.

Logarithmes binaires, notés lb

Ces logarithmes à base 2 sont utiles notamment en informatique. On a évidemment

lb(1/4) = -2, lb(1/2) = -1 et lb(2) = 1, lb(4) =2, lb(16)= 4, lb(256) = 8, lb(65’536) =16 .

Ainsi, un mot de 16 bits peut contenir n'importe quel entier de 0 à 65'535.

Pratique

En calcul manuel, on a longtemps utilisé à partir du XVIIe siècle des tables de logarithmes. Puis leur emploi a été en partie mécanisé avec l'apparition des règles à calcul. A partir de 1950 il a été rendu implicite par les ordinateurs puis les machines à calculer électroniques et les tableurs et depuis 1980 les calculettes.