Théorème d'Al-Kashi

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Un triangle quelconque. Les notations sont celles utilisées pour la formule du théorème d'Al-Kashi

Le théorème d'Al-Kashi, ou théorème de Pythagore généralisé, ou encore loi des cosinus est un théorème mathématique qui est utilisé en géométrie pour connaître la longueur d'un côté, ou un angle, d'un triangle quelconque, à partir de la longueur des autres côtés et de la mesure de l'angle opposé.

Dans un triangle, il y a 6 mesures : 3 angles, et 3 longueurs. Si l'on en connaît seulement trois, c'est-à-dire :

  • la longueur des 3 côtés,
  • la longueur de 2 côtés, et un des angles,
  • ou la longueur d'un côté, et deux des angles,

alors il n'existe qu'un seul triangle possible, c'est-à-dire que les autres longueurs et angles sont déterminées automatiquement. Du coup, cela veut dire qu'en connaissant 3 mesures dans un triangle, on doit pouvoir calculer les autres.

Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d'un côté quand on connaît celle des deux autres. Mais, en fait, quand on est dans un triangle rectangle, on connaît aussi la mesure d'un angle : l'angle droit.

Le théorème de Pythagore ne permet pas de calculer des longueurs dans un triangle qui n'est pas rectangle : pour cela, il faut utiliser le théorème d'Al-Kashi, c'est pour cela qu'on l'appelle aussi théorème de Pythagore généralisé, parce qu'il ne permet pas de calculer que les longueurs d'un triangle rectangle, mais de n'importe quel triangle, notamment d'un triangle quelconque.

En France, ce théorème porte le nom du mathématicien persan Ghiyat al-Kashi, qui en est un des découvreurs.

Sa formule est (voir sur la figure ci-contre pour les notations des côtés) :

Pour calculer la longueur du côté d'un triangle grâce au théorème d'Al-Kashi, on a donc besoin de la longueur des deux autres côtés, et du cosinus de l'angle qui fait face à ce côté.

Remarque : le cosinus d'un angle de 90° vaut 0 ; si l'angle est un angle droit, c'est-à-dire si le triangle est rectangle, la formule se simplifie, et devient... le théorème de Pythagore !

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