Raisonnement par l'absurde

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Le raisonnement par l'absurde est une technique de raisonnement mathématique débutant par la supposition de l'inverse de ce qu'on veut démontrer et aboutissant à une contradiction.

Principe et premier exemple

Soit $P$ une proposition, par exemple "4 est pair". Notre but est de prouver $P$.

Pour faire cela, on commence par supposer l'inverse de $P$, dans notre exemple, on suppose que "4 est impair". Notre objectif est de montrer que quelque chose ne va pas.

Notre objectif va ensuite de faire des raisonnements. Par exemple, on a supposé que 4 était impair, donc il s'écrit $4=2\times k+1$ donc $3=2\times k$ et ainsi $k=1,5$. C'est absurde, car $k$ doit être entier.

Ainsi, on a abouti à une contradiction, on en déduit notre proposition de départ : "4 est pair" !

Autres exemples

Le raisonnement par l'absurde est très utilisé en mathématiques. On le retrouve par exemple dans :

• La démonstration de l’irrationalité de $\sqrt{2}$
• L'infinité des nombres premiers
• Le théorème des valeurs intermédiaires

Et beaucoup d'autres théorèmes.

Références et bibliographie

• Jean-Louis Gardies, Le Raisonnement par l'absurde, Paris, Presses universitaires de France, 1991, 208 p.

• Karim Nour, René David et Christoffe Raffalli, Introduction à la logique : théorie de la démonstration, 2004, 352 p.