Diagonalisation

« Diagonalisation » expliqué aux enfants par Vikidia, l’encyclopédie junior
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En algèbre, la diagonalisation d'un endomorphisme revient à trouver une base de cet endomorphisme composée de vecteurs propres.

Diagonalisabilité[modifier | modifier le wikicode]

Avant de tenter de diagonaliser un endomorphisme, il faut d'abord savoir s'il est diagonalisable ou non.

Conditions suffisantes de diagonalisabilité[modifier | modifier le wikicode]

Sur la matrice canoniquement associée[modifier | modifier le wikicode]

Conditions nécessaires et suffisantes[modifier | modifier le wikicode]

  • La somme des dimensions des espaces propres de l'endomorphisme vaut la dimension de la matrice canoniquement associée.
  • L'espace vectoriel sur lequel il est défini est la somme de ses espaces propres. C'est-à-dire, l'endomorphisme de est diagonalisable et possède valeurs propres distinctes si et seulement si

Procédé de diagonalisation[modifier | modifier le wikicode]

Diagonalisation d'une matrice[modifier | modifier le wikicode]

Une fois le spectre de la matrice diagonalisable obtenu, ainsi que ses vecteurs propres pour chaque valeur propre, on peut écrire : il existe une matrice diagonale et une matrice inversible telles que , où contient les valeurs propres de la matrice sur sa diagonale, et les colonnes de sont ses vecteurs propres.


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