Diagonalisation

En algèbre, la diagonalisation d'un endomorphisme revient à trouver une base de cet endomorphisme composée de vecteurs propres.

Diagonalisabilité

Avant de tenter de diagonaliser un endomorphisme, il faut d'abord savoir s'il est diagonalisable ou non.

Conditions suffisantes de diagonalisabilité

Sur la matrice canoniquement associée

• La matrice canoniquement associée à l'endomorphisme est symétrique réelle. Alors, d'après le théorème spectral, elle est diagonalisable (et donc l'endomorphisme aussi).
• Le spectre de la matrice canoniquement associée à l'endomorphisme contient autant de valeurs propres distinctes que la dimension de cette matrice.

Conditions nécessaires et suffisantes

• La somme des dimensions des espaces propres de l'endomorphisme vaut la dimension de la matrice canoniquement associée.
• L'espace vectoriel sur lequel il est défini est la somme de ses espaces propres. C'est-à-dire, l'endomorphisme $f$ de $E$ est diagonalisable et possède $k$ valeurs propres distinctes $\lambda _{1},...,\lambda _{k}$ si et seulement si $E=\bigoplus _{i=1}^{k}E_{{\lambda }_{i}}(f)$

Procédé de diagonalisation

Diagonalisation d'une matrice

Une fois le spectre de la matrice diagonalisable $M$ obtenu, ainsi que ses vecteurs propres pour chaque valeur propre, on peut écrire : il existe une matrice $D$ diagonale et une matrice $P$ inversible telles que $M=P^{-1}DP$, où $D$ contient les valeurs propres de la matrice sur sa diagonale, et les colonnes de $P$ sont ses vecteurs propres.

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