Trace (mathématiques)

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Mots compliqués

1. Matrice : tableau avec des nombres (appelés éléments)
2. Élément (d'une matrice) : nombre d'une matrice. Sur une matrice, on parle d'élément pour décrire un nombre sur une matrice
3. Matrice identité : matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 sinon. Elle est de la forme $I_n=\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 1\end{array}\right)$. Exemples : $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ \end{array}\right)$ $I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ \end{array}\right)$
4. Transposée d'une matrice : matrice dont les éléments des lignes et des colonnes sont inversées. Exemple : la transposée de $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\\ \end{array}\right)$ est $A^{\mathsf{T}}=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 2& 5& 8\\ 3& 6& 9\\ \end{array}\right)$.

En algèbre, la trace d'une matrice $M$, notée $Tr(M)$, est la somme  des éléments  diagonaux de cette matrice.

Définition

Soit $M$ une matrice carrée de dimension  $n$ et on note $M=(m_{ij}{)}_{1\le i,j\le n}$. Alors :
$\mathrm{T}\mathrm{r}(M)=\sum _{i=1}^n{m}_{ii}$ ($\sum _{i=1}^n{m}_{ii}$ veut dire la somme de i variant de 1 à n des éléments en position i i, c'est à dire qu'on prend les nombres, de la diagonale de la matrice pour les additionner.

Exemple

Soit $M=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \\ ϵ& \zeta & \theta \\ \lambda & \mu & \mathrm{\Lambda }\end{array}\right)$. Alors $Tr(M)=\alpha +\zeta +\mathrm{\Lambda }$

Par exemple : sur la matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\\ \end{array}\right)$, la trace est $Tr(A)=1+5+9=15$.

Autres exemples

• La trace de la matrice identité vaut la dimension de cette matrice, puisqu'elle somme tous les 1 sur sa diagonale. La trace d'une matrice nulle est nulle.
• La trace d'une matrice est égale à la trace de sa transposée (car les éléments des lignes et les colonnes de la matrice sont inversées donc les éléments diagonaux ne changent pas entre la matrice et sa transposée).
• La trace d'un projecteur est égale à son rang.

Propriétés

• La trace est une forme linéaire.
• La trace d'un endomorphisme dans une base renvoie à la trace de sa matrice dans cette base.

Autres propriétés

• Le noyau de la trace est un hyperplan de ℳ_n(K).