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Triplet pythagoricien

« Triplet pythagoricien » expliqué aux enfants par Vikidia, l’encyclopédie junior
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Un triplet pythagoricien est la donnée de trois entiers naturels tels que la somme des carrés des deux premiers entiers vaut le carré du troisième.

Par exemple, (39, 80, 89) est un triplet pythagoricien parce que :

39²  + 80²  =  1521  +  6400  =  7921  =  89².

On sait qu'il existe une infinité de triplets pythagoriciens. Autrement dit, on peut en donner autant qu'on veut. Cependant, en général, la somme des carrés de deux entiers n'est pas le carré d'un entier.

Premières motivations[modifier]

Le théorème de Pythagore affirme :

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Si on a un triplet pythagoricien, on a un triangle rectangle dont les côtés ont pour longueurs un nombre entier d'unités.

En particulier, (3,4,5) est un triplet pythagoricien (c'est le plus petit triplet pythagoricien). Dans un triangle rectangle, si les côtés adjacents à l'angle droit ont pour longueurs 3 et 4 unités, alors la longueur de l'hypoténuse est de 5 unités. C'est ce qu'on appelle le triangle 3-4-5.

Histoire[modifier]

Les scribes babyloniens effectuaient des exercices de mathématiques sur des tables d'argile séchées. On en a retrouvées en Irak et en Iran. Sur certaines, il apparaît des listes de triplets pythagoriciens. Les babyloniens devaient donc disposer de méthodes pour en trouver. En analysant et comparant des tablettes, les historiens des mathématiques ont montré que les babyloniens avaient mis en place des algorithmes pour effectuer des calculs. Probablement, ils connaissaient un algorithme donnant des triplets pythagoriciens.

Les premières méthodes écrites retrouvées sont données dans les Éléments d'Euclide.

Comment en trouver ?[modifier]

Méthode d'Euclide : On prend deux entiers naturels. Un triplet pythagoricien est donné par la différence de leurs carrés, le double de leur produit et la somme de leurs carrés.

Par exemple, 8 et 77 sont des entiers. Un triplet pythagoricien est (5865,1232,5993). On peut ainsi obtenir de très grands triplets pythagoriciens.

Conjecture de Fermat[modifier]

En 1637, Pierre de Fermat affirma que, pour n > 2, il n'existait aucun couple d'entier naturel non nul tel que la somme des puissances n-ièmes est la puissance n-ième d'un troisième entier : xn + yn = zn. Il prétendit avoir une démonstration, mais refusa de l'écrire. Ce résultat s'appela alors le « dernier théorème de Fermat ». Mais ce fut longtemps une affirmation non démontrée, c'est-à-dire une conjecture.

La preuve fut donnée par Andrew Wiles en 1994.