Suite (mathématiques)

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En mathématiques, une suite est une liste d’objets numérotés par des entiers naturels. Ces objets sont appelés termes de la suite et leur numéro est appelé rang ou indice. La relation d'ordre qui existe entre les entiers permet de « ranger » les éléments d’une suite en fonction de leur indice.

Une suite est dite finie lorsqu'il est possible de compter ses termes et infinie sinon.

Pour une suite donnée, il peut exister une relation qui, à partir d’un terme d’indice k, permet de calculer celui d’indice k + 1 : c’est une relation de récurrence, très utilisée en mathématiques. Une suite peut également être définie de façon explicite ou implicite (solution d’une équation).

Notations habituelles

Pour désigner le terme d’indice $k$ d’une suite, on prend une variable (par exemple, $u$) et on place le rang juste à côté, « en indice » (d’où le nom d’indice) : $u_{k}$. Le premier terme de cette suite est ainsi noté $u_{0}$, le suivant $u_{1}$, etc.

Comme la suite tout entière est l’ensemble de tout ces termes $u_{k}$ pour des valeurs de $k$ allant de 0 à un nombre $N$ (qui peut être l’infini : $+\infty$), on écrit cette suite $(u_{k})_{k\in [\![0;N]\!]}$, ce qui signifie « la suite des termes $u_{k}$ pour chaque $k$ appartenant ($\in$) à l’ensemble des entiers compris entre 0 et $N$ », ensemble mathématiquement noté $[\![0;N]\!]$.

Lorsque la suite est infinie, la variable d’indice ($k$ dans notre exemple) prend toutes les valeurs entières de 0 à $+\infty$, c’est-à-dire toutes les valeurs de l’ensemble des nombres entiers naturels, qui est noté $\mathbb {N}$. On écrira donc plutôt $(u_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ ou, plus simplement, $(u_{k})_{k}$.

Exemples de suites

Suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite dont chaque terme est séparé du suivant toujours par le même nombre. Par exemple, la suite des nombres pairs  est une suite arithmétique car, pour passer d’un nombre pair au suivant, il faut toujours ajouter 2.

Cette suite arithmétique $(a_{n})_{n}$ est donc entièrement définie par son premier élément ($a_{0}$, qui vaut ici zéro) et par la relation : $a_{k+1}=a_{k}+2$. On écrit donc : $(a_{n})_{n}\left\{{\begin{matrix}a_{0}=0\\a_{k+1}=a_{k}+2,\quad k\in \mathbb {N} \end{matrix}}\right.$

Si l’on change de premier élément, ce n’est plus la même suite ! Ici, en prenant $a_{0}=1$, on obtient la suite des nombres impairs .

Suite géométrique

Dans une suite géométrique, on passe d'un terme à l'autre en multipliant par une certaine valeur. C'est donc différent de la suite arithmétique (où l'on ajoutait cette valeur).

Par exemple, la suite 1, 2, 4, 8, 16, 32, …, est une suite géométrique car on passe d'un terme à l'autre en le multipliant par 2. Cette valeur 2 est alors appelée la raison de la suite.

Une suite géométrique est donc une suite de la forme $u_{n+1}=u_{n}\times q$ où $u_{n+1}$ est le terme qui suit $u_{n}$ et où q est la raison.

Comme on multiplie toujours par la même quantité, il est facile de savoir combien vaut la suite à un certain terme n si l'on sait combien elle vaut à son premier terme : il suffit de le multiplier n fois par la raison de la suite, ce qui revient à : $u_{n}=u_{0}\times q^{n}$.

La somme des n premiers termes d'une suite géométrique u de raison q vaut $u_{0}\times {\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$.

Suite de Fibonacci

Article à lire : Leonardo Fibonacci#La suite de Fibonacci.

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