Relation d'ordre

En mathématiques, une relation d'ordre permet de classer les différents objets d'un ensemble. La relation d'ordre usuelle dans l'ensemble des nombres réels est notée $\leq$. On a par exemple $4\leq 6$

Définition mathématique

Soient $E$ un ensemble, $a$, $b$ et $c$ des éléments quelconques de $E$. Une relation d'ordre $\leq$ est une relation binaire qui vérifie les trois propriétés suivantes :

• réflexivité : on a toujours $a\leq a$
• transitivité : si $a\leq b$ et $b\leq c$, alors $a\leq c$
• anti-symétrie : si $a\leq b$ et $b\leq a$, alors $a=b$

Si ces propriétés sont vérifiées, ont dit que $(E,\leq )$ est un ensemble ordonné. Exemple : $(\mathbb {R} ,\leq )$, $(\mathbb {N} ,\leq )$ sont des ensembles ordonnés.

Propriétés de la relation d'ordre usuelle

Soient $x$, $y$, $x'$ et $y'$ quatre nombres réels. On a les propriétés suivantes :

• Si $x\leq y$ et $x'\leq y'$, alors $x+x'\leq y+y'$ et $x\times x'\leq y\times y'$
• Si $x\leq y$, alors Si $x\times x'\leq y\times x'$
• Si $x\leq y$, alors $-y\leq -x$

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