Règle de trois

En mathématiques, la règle de trois est une méthode pour trouver le quatrième terme parmi quatre termes ayant un même rapport de proportion lorsque trois de ces termes sont connus. Elle utilise le fait que le produit des premier et quatrième termes est égal au produit du second et du premier.

Histoire

La règle de trois apparaît pour la première fois en Inde au VIIème siècle puis est transmis au monde arabo-musulman au IXème siècle avant d'apparaître en Europe à partir de XIIIème siècle. Cette règle s'est popularisée à partir des années 1830-1840.

Explication de la méthode

On suppose que a, b et c sont des nombres relatifs donnés et x un nombre inconnu. Si a, b et c, x sont dans le même rapport de proportion, c'est-à-dire si ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{x}}$ ou ${\frac {b}{a}}={\frac {x}{c}}$ alors $x=c\times {\frac {b}{a}}$.

On peut aussi utiliser le produit en croix (expliqué plus bas), qui semble plus simple et plus rapide, mais qui revient au même.

Exemples d'utilisation

Exemple

Une voiture roule à vitesse constante  et peut rouler 240 kilomètres en 3 heures (cas 1). Quelle distance la voiture peut-elle parcourir en 7 heures (cas 2) ?

Posons $t_{1}=3$ (heures), $d_{1}=240$ (kilomètres) et $t_{2}=7$ (heures). On cherche la distance parcourue par la voiture dans le cas 2 (c'est-à-dire quand elle roule 7 heures), notée $d_{2}=?$

Comme la vitesse de la voiture est constante, elle est la même dans le cas 1 et dans le cas 2 : $v_{1}=v_{2}$.

Or $vitesse={\frac {distance}{temps}}$, donc : $v_{1}=v_{2}\Longleftrightarrow {\frac {d_{1}}{t_{1}}}={\frac {d_{2}}{t_{2}}}$.

Comme on cherche $d_{2}$, on transforme l'équation pour le faire apparaître : $d_{2}={\frac {d_{1}\times t_{2}}{t_{1}}}$.

On remplace par les valeurs : $d_{2}={\frac {240\times 7}{3}}=560$ (km)

On peut aussi retrouver le résultat par étapes :

• la voiture parcourt 240 kilomètres en trois heures ;
• en une heure, elle fait trois fois moins, soit ${\frac {240}{3}}$ kilomètres.
• en 7 heures, sept fois plus, soit ${\frac {240}{3}}\times 7$ kilomètres : 560 kilomètres.

Le produit en croix

Principe

Le « produit en croix » est un moyen plus visuel d'appliquer une règle de trois. Avec les valeurs du schéma, il dit que ${a}\times {d}={b}\times {c}$.

On « trace » en fait une croix entre les différentes valeurs (sur le schéma, $a$, $b$, $c$ et $d$). Par exemple :

• on part de $a$, et l'on trace la première branche de la croix : on arrive en $d$ ;
• de $d$, on va en $b$ ;
• en l'on dessine la dernière branche de la croix : on va en $d$.

Ce qui est facile avec le produit en croix, c'est qu'il faut toujours faire les mêmes opérations ! Entre la première valeur (a) et la deuxième (d), on fait une multiplication. Entre la deuxième ($d$) et la troisième ($b$), on divise. Et la dernière valeur ($c$) est égale au résultat de nos opérations !

Résolution de l'exemple avec le produit en croix

On avait ${\frac {d_{1}}{t_{1}}}={\frac {d_{2}}{t_{2}}}$ et l'on cherchait $d_{2}$. En appliquant le produit en croix, on fait comme avec a, b, c et d : ${\frac {d_{1}\times t_{2}}{t_{1}}}=d_{2}$ !

Intérêt

La règle de trois est un outil fondamental car cette méthode est utilisée assez souvent dans les problèmes de proportionnalité comme les distances parcourues à vitesse constante en fonction du temps, le prix à payer en fonction du poids, en économie etc...

Usages

1) Usage pratique pour le commerce : banque etc...

2) Développement théorique : savants.

3) Cours pédagogique : élèves.

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