Fonction réciproque

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Des fonctions f et g et leur réciproque f^-1 et g^-1

En analyse, la fonction réciproque (ou bijection réciproque) d'une fonction bijective f est une fonction notée f^-1 qui, à partir du résultat obtenu en appliquant f sur un nombre, redonne ce nombre.

Par exemple, si f est la fonction numérique qui, à un nombre quelconque, ajoute 1, la fonction réciproque de f est la fonction qui, à un nombre donné, retranche 1. Ainsi, en appliquant f à 24, nous obtenons 25 ; et si nous appliquons f^-1 au résultat 25, nous retrouvons 24 :

$24\underset{fonction}{\overset{f}{\to }}25\underset{reciproque}{\overset{f^{-1}}{\to }}24$

Pour qu'une fonction f admette une réciproque f^-1, il faut que f soit bijective (et, naturellement, f^-1 l'est alors aussi).

Exemple

Soit la fonction $f:x\mapsto 2x+3$. On peut donc écrire, pour n'importe quelle valeur de $x$, l'égalité $f(x)=2x+3$.

En passant le 3 dans le premier membre, on a : $f(x)-3=2x$

puis, en ramenant à son tour le 2 dans le premier membre : $\frac{f(x)-3}{2}=x$

La fonction réciproque de $f$ est généralement notée $f^{-1}$. On a, par définition, $f^{-1}(f(x))=x$ et $f(f^{-1}(x))=x$. En mathématiques, pour simplifier l'écriture, on le note : $(f^{-1}\circ f)(x)=(f\circ f^{-1})(x)=x$ (mais cela veut dire la même chose).

On en déduit que :

$(f^{-1}\circ f)(x)=\frac{f(x)-3}{2}$,

et donc :

$f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$