Inéquation

Visualisation graphique d'une inéquation grâce à une droite affine

Une inéquation se présente généralement sous la forme de l'un des symboles d'inéquation (≤, ≥, > ou <) placé au milieu de deux expressions appelées membres. Dans l'un ou l'autre des membres il y peut y avoir une ou plusieurs variables appelées inconnues de l'inéquation.

Résoudre une inéquation d'inconnue x, c'est chercher tous les nombres tels qu'en remplaçant x par l'un de ces nombres, l'inéquation devient vraie.

Exemple

L'inéquation $x+2<10$

est équivalente à $x<8$

C'est-à-dire que toutes les valeurs de $x$ inférieures à 8 vérifient l'inégalité.

Résolution

La résolution d'une inéquation est similaire à celle d'une équation. L'objectif est d'isoler la variable dans le même membre. Les règles restent les mêmes que dans le cas d'une équation

• On peut ajouter ou soustraire une même quantité des deux côtés de l'inégalité
• On peut multiplier ou diviser les deux côtés de l'inégalité par un même nombre

$\begin{array}{rl}x-2& >3\\ x-2+2& >3+2\\ x& >5\end{array}$

Autre exemple, résolution de l'inéquation :

$-2-x\le 1+3x$

L'objectif étant d'isoler la variable $x$, nous commençons par ajouter $x$ des deux côtés :

$\begin{array}{rl}-2-x& \le 1+3x\\ -2-x+x& \le 1+3x+x\\ -2& \le 1+4x\end{array}$

Ensuite, nous soustrayons 1 des deux côtés afin d'avoir les variables d'un côté et les constantes de d'autre :

$\begin{array}{rl}-2& \le 1+4x\\ -2-1& \le 1+4x-1\\ -3& \le 4x\end{array}$

Finalement, nous divisons par 4 des deux côtés :

$\begin{array}{rl}-3& \le 4x\\ \frac{-3}{4}& \le \frac{4x}{4}\\ \frac{-3}{4}& \le x\end{array}$

On peut réécrire ce dernier résultat $x\ge \frac{-3}{4}$. Il nous informe que toute valeur de $x$ supérieure ou égale à $\frac{-3}{4}$ convient pour satisfaire l'inéquation. On peut également écrire que l'ensemble solution $S$ est égal à $[\frac{-3}{4};+\mathrm{\infty }[$

Remarque très importante

Si, dans la résolution, l'on est amené à multiplier ou diviser les deux membres de l'inéquation par un nombre négatif, on doit changer le sens de l'inéquation. Exemple :

$-2x<8$, en multipliant par $-0,5$, cela donne :

$x>-4$

On a changé $<$ en $>$.

Il est ainsi possible d'inverser le sens de l'inéquation en multipliant par $-1$ les deux membres. L'inéquation :

$-1\ge x+3$

est équivalente à

$1\le -x-3$

Voir aussi

• équation