Nombre cardinal

Cardinal d'un ensemble

Le cardinal d'un ensemble est le nombre d'éléments que possède cet ensemble. Le cardinal de l'ensemble E est noté #E, Card(E) ou encore |E|. Ici, nous préfèreront la notation Card(E).

Exemples

Considérons les ensembles A = {0,1,2,4}, B = {♠,♣,♥,♦}, C = ∅, D ={0}.

Card(A) = 4 car A contient 4 éléments de type nombre.
Card(B) = 4 car B contient 4 éléments de type symboles ou tarots.
Card(C) = 0 car l'ensemble vide noté ∅ ne contient par définition aucun élément.
Card(D) = 1 car l'ensemble D n'est pas vide : il contient un élément, le nombre 0.

Théorème

Si E = F, alors Card(E) = Card(F). Les ensembles E et F sont identiques donc ont le même nombre d'éléments. On peut noter ce théorème :

(E = F) → (Card(E) = Card(F))

(la double flèche se prononce "implique")

On en déduit sa contraposée qui est vraie :

(Card(E) ≠ Card(F)) → (E ≠ F)

En effet, si deux éléments n'ont pas le même nombre d'éléments, ils sont différents.

La réciproque du théorème, à savoir (Card(A) = Card(B)) → (A = B), est généralement fausse : il ne suffit pas que deux ensembles aient le même nombre d'éléments pour qu'ils soient identiques (voir les ensembles A et B des exemples).