Contraposée

Ne pas confondre avec Réciproque !

La contraposée d’une propriété est sa réciproque mise à la forme négative.

Exemple

On a la propriété suivante : Si je suis en mouvement, alors je bouge.

Sa réciproque est donc : Si je bouge, alors je suis en mouvement.

Maintenant, pour faire sa contraposée, il suffit de réécrire la réciproque en ajoutant la négation : Si je ne bouge pas, alors je ne suis pas en mouvement.

Avec des lettres

Soient $P$, $Q$, $P'$ et $Q'$ quatre propriétés.
La contraposée de l'implication $P\Rightarrow Q$ est l'implication $\lnot Q\Rightarrow \lnot P$.
La contraposée de l'équivalence $P'\Leftrightarrow Q'$ est l'équivalence $\lnot Q'\Leftrightarrow \lnot P'$.
Le signe $\Rightarrow$ se prononce "implique", $\Leftrightarrow$ se prononce "équivaut" et $\lnot$ se prononce "non".

Exemple 2

Soit $P_{n}$ la propriété "$n$ est un nombre entier" et $Q_{n}$ la proprité "$n$ est un nombre pair". Comme l'ensemble des entiers pairs est inclus dans l'ensemble des entiers naturels, l'implication $Q_{n}\Rightarrow P_{n}$ est vraie. La contraposée : $\lnot P_{n}\Rightarrow \lnot Q_{n}$ est donc vraie aussi : "Si un nombre n'est pas entier, alors, il n'est pas pair".

Illustration de ce théorème sous forme de diagrammes de Venn :

Diagramme de Venn : Si un nombre est pair (ici 16), alors il est entier car inclus dans l'ensemble des entiers naturels.

Si un nomre n'est pas entier (ici 3,49), alors in n'est pas pair car non-inclus dans l'ensemble des entiers pairs.

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