Contraposée

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La contraposée d’une propriété est sa réciproque mise à la forme négative.

Attention Ne pas confondre contraposée et réciproque !

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

On a la propriété suivante : S’il pleut, alors mon jardin est mouillé.

Sa réciproque est donc : Si mon jardin est mouillé, alors il pleut.

Maintenant, pour faire sa contraposée, il suffit de réécrire la réciproque en ajoutant la négation : Si mon jardin n’est pas mouillé, alors il ne pleut pas.

Notons que dans cet exemple, la réciproque n’a pas de sens : le jardin aurait pu être mouillé par un arrosage manuel, ou autre chose. Cependant, ce n’est pas l’important ici.

Avec des lettres[modifier | modifier le wikicode]

Soient , , et quatre propriétés.
La contraposée de l'implication est l'implication .
La contraposée de l'équivalence est l'équivalence .
Le signe se prononce "implique", se prononce "équivaut" et se prononce "non".

Exemple 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit la propriété " est un nombre entier" et la proprité " est un nombre pair". Comme l'ensemble des entiers pairs est inclus dans l'ensemble des entiers naturels, l'implication est vraie. La contraposée : est donc vraie aussi : "Si un nombre n'est pas entier, alors, il n'est pas pair".

Illustration de ce théorème sous forme de diagrammes de Venn :

Diagramme de Venn : Si un nombre est pair (ici 16), alors il est entier car inclus dans l'ensemble des entiers naturels.
Diagramme de Venn : Si un nombre est pair (ici 16), alors il est entier car inclus dans l'ensemble des entiers naturels.
Si un nomre n'est pas entier (ici 3,49), alors in n'est pas pair car non-inclus dans l'ensemble des entiers pairs.
Si un nomre n'est pas entier (ici 3,49), alors in n'est pas pair car non-inclus dans l'ensemble des entiers pairs.
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