Factorisation

Dans un calcul, la factorisation est une méthode qui consiste à faire passer une somme ou une différence en une multiplication. Plus exactement, il s'agit de reconnaître dans les termes d'une somme un facteur commun.

La factorisation d'un entier consiste à le « casser » en un produit d'entiers plus petits.

Exemples

Voici quelques exemples.

Exemple numérique

Voici un exemple :

$\begin{array}{rl}384+896& =128\times 3+128\times 7\\ & =128\times (3+7)\\ & =128\times 10\\ & =1280\end{array}$

Dans cet exemple, on a factorisé par 128. C'est un entier qui divise les deux termes de l'addition, 384 et 896. On dit que c'est un diviseur commun de 384 et 896. Plus généralement, dans une addition, il est toujours possible de factoriser par un diviseur commun. On montre alors :

Un diviseur commun de deux entiers (ou plus) divise leur somme.

En particulier, la somme de deux entiers pairs est paire.

Exemple littéral

Pour une expression du type $ax+bx$, on voit que $x$ apparaît dans les deux termes. On l'appelle facteur. Alors $ax+bx=x(a+b)$. C'est l'opération dans le sens opposé par rapport à la distributivité.

Factorisation des entiers

Pour en savoir plus, lire l’article : Factorisation d'un nombre entier.

Identités remarquables

Qui sont les suivantes :

• $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
• $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$
• $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$

Bien évidemment, tout cela est prévu dans le programme de 3^e avec des exigences pour les effectuer.

Exemples

• Pour factoriser $(2x-1{)}^2-(5x+4{)}^2$, on reconnaît que $a=2x-1$ et $b=5x+4$. Alors en utilisant l'identité remarquable $a^2-b^2$, on obtient :

$(2x-1{)}^2-(5x+4{)}^2=(2x-1+5x-4)(2x-1-5x-4)$. On calcule les termes à l'intérieur de la parenthèse : $2x+5x=7x$ et $-1+4=3$ dans la première, et $2x-5x=-3x$ et $-1-4=-5$ dans la deuxième et on obtient :

$(2x-1{)}^2-(5x+4{)}^2=(7x+3)(-3x-5)$

• Pour factoriser $x^2+6x+9$ on reconnaît l'identité remarquable $a^2+2ab+b^2$. On remarque que $a=1$ et $b=3$ car $b^2=9$.

Donc, $x^2+6x+9=(x+3{)}^2$

Vidéo

Exemple de factorisation simple en vidéo. Vous verrez comment factoriser 23×100+23×2, 5x-5y et d'autres exemples.

Pour en savoir plus, lire l’article : Identité remarquable#Factorisation.