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Triangle rectangle inscrit dans un cercle
Un triangle dont un côté est un diamètre du cercle dans lequel s'inscrit le triangle est un triangle rectangle.
Ce côté est donc l'hypoténuse du triangle rectangle. Cette propriété est connue est démontrée depuis l'antiquité, sans doute par Thalès ou Pythagore.
(Pour rappel, tout triangle est inscrit dans un cercle. Ce cercle, dans lequel s'inscrit le triangle, est nommé le cercle circonscrit au triangle.)
Démonstration
Alors 2 × CÂB = CÔB
Première étape
A et B diamétralement opposés. O milieu de [AB] est donc le centre du cercle circonscrit. A , O et B sont alignés, l'angle AÔB vaut 180°. La somme des angles AÔC et CÔB vaut 180°.
Le triangle AOC étant isocèle en O donc OÂC = OĈA. Et comme pour tout triangle la somme des angles vaut 180° : 2 × OĈA + AÔC = 180° .
Donc, 2 × OĈA = 180 – AÔC = CÔB . (Et aussi 2 × CÂB = CÔB , pour démontrer angle au centre = 2 × angle inscrit).
Seconde étape
On procède de même pour le triangle COB, isocèle en O, et donc 2 × OĈB = CÔA .
De la somme de ces deux égalités on obtient 2 × (OĈA + OĈB) = CÔB + CÔA = 180° . Et donc OĈA + OĈB = 180 / 2 = 90° .
Réciproque
Si ABC est un triangle rectangle en C, alors le triangle s'inscrit dans un cercle de diamètre l'hypoténuse [AB].
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