Triangle rectangle inscrit dans un cercle

« Triangle rectangle inscrit dans un cercle » expliqué aux enfants par Vikidia, l’encyclopédie junior
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TriangleRectangleCercleCirconscrit.png Un triangle dont un côté est un diamètre du cercle dans lequel s'inscrit le triangle est un triangle rectangle. Ce côté est donc l'hypoténuse du triangle rectangle. Cette propriété est connue est démontrée depuis l'antiquité, sans doute par Thalès ou Pythagore.

(Pour rappel, tout triangle est inscrit dans un cercle. Ce cercle, dans lequel s'inscrit le triangle, est nommé le cercle circonscrit au triangle.)

Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

A,O,B alignés. AÔB = 180°
Alors 2 × CÂB = CÔB
OĈA + OĈB = 90°

Première étape[modifier | modifier le wikicode]

A et B diamétralement opposés. O milieu de [AB] est donc le centre du cercle circonscrit. A , O et B sont alignés, l'angle AÔB vaut 180°. La somme des angles AÔC et CÔB vaut 180°.
Le triangle AOC étant isocèle en O donc OÂC = OĈA. Et comme pour tout triangle la somme des angles vaut 180° : 2 × OĈA + AÔC = 180° .
Donc, 2 × OĈA = 180 – AÔC = CÔB . (Et aussi 2 × CÂB = CÔB , pour démontrer angle au centre = 2 × angle inscrit).

Seconde étape[modifier | modifier le wikicode]

On procède de même pour le triangle COB, isocèle en O, et donc 2 × OĈB = CÔA .
De la somme de ces deux égalités on obtient 2 × (OĈA + OĈB) = CÔB + CÔA = 180° . Et donc OĈA + OĈB = 180 / 2 = 90° .

Réciproque[modifier | modifier le wikicode]

Si ABC est un triangle rectangle en C, alors le triangle s'inscrit dans un cercle de diamètre l'hypoténuse [AB].

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