Entier naturel

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... sont des nombres entiers naturels : tous les nombres entiers compris dans l'intervalle allant de zéro (inclus) jusqu'à l'infini positif.

Les entiers naturels sont les nombres utilisés pour compter des objets : une pomme (1), deux poires (2), trois oranges (3), quatre ananas (4), ...

La liste des entiers n'a pas de fin, c'est pourquoi on dit que la quantité des nombres entiers qui existent est infinie car s'il existait un nombre fini d'entiers, on pourrait toujours ajouter 1 au plus grand et alors on obtiendrait un entier qui n'était pas dans la liste.

On classe les entiers suivant leurs propriétés :

• Entier premier
• Entier pair ou impair
• ...

Histoire

Durant l'Antiquité

La première forme d'écriture est apparue vers -3000 av JC en Mésopotamie. C'est l'écriture cunéiforme : elle s'appelle ainsi parce qu'elle utilise deux symboles, des « flèches » et des « couteaux ». Des combinaisons de ces symboles peuvent servir aussi bien à écrire des mots que des entiers naturels. La grammaire était très différente de la nôtre, l'écriture des entiers aussi. Les entiers étaient écrits dans un système de numération en base 60 non positionnel. En particulier, les entiers 1, 60 et 60*60 s'écrivaient de la même manière.

En tout cas, on en déduit que l'homme savait compter, additionner et multiplier des entiers bien avant de savoir écrire ! Les premiers textes nous transmettent les connaissances mathématiques des premières véritables civilisations (Sumériens, Akkadiens et Babyloniens). Elles portaient essentiellement sur l'arithmétique et l'algèbre, très peu sur la géométrie. Les écrits décrivent des méthodes de calcul sur les entiers utilisées du temps de Babylone. Certaines méthodes sont astucieuses et leur élaboration a dû demander une réflexion. Malheureusement, on ne peut pas savoir avec certitude s'ils les comprenaient véritablement. Aucune démonstration n'est en effet donnée (cela ne leur semblait peut-être pas nécessaire).

Pour en savoir plus, lire l’article : Mathématiques babyloniennes.

Dans la Grèce antique, l'unité (1) n'était pas considérée comme un entier naturel. Pour les Grecs (d'Athène à l'époque post-hellénistique), les entiers naturels sont 2, 3, 4, ... Les textes grecs fournissent les premières démonstrations écrites connues en mathématiques. Malheureusement, les traités mathématiques, transmis à travers leurs traductions arabes, ne décrivent pas les méthodes de calcul utilisées. En particulier, les méthodes d'addition et de multiplication d'entiers nous sont connues seulement à travers la lecture des textes littéraires !

Pour en savoir plus, lire l’article : Mathématiques grecques.

Apparition du zéro

Nous, aujourd'hui, on écrit les entiers naturels avec un système de numération décimal positionnel. On utilise 10 chiffres, dont le 0. Le 0 désigne à la fois un entier, zéro, l'absence de quantité, mais aussi un chiffre qui permet de distinguer le 1 du 10.

Ce système de numération a été développé en Inde entre -300 et 600. C'est à cette période que le zéro fait son apparition !

Ce système de numération a été transmis aux civilisations arabo-musulmanes. Ces civilisations s'étendaient alors jusque dans l'actuelle Espagne. C'est au contact de ces dernières que les Européens ont adopté ce système de numération durant la Renaissance à partir du XIII^e siècle.

La Renaissance a permis le réveil intellectuel de l'Europe. La domination scientifique de l'Europe aux XVIII^e et XIX^e siècles a permis d'imposer le système de numération décimal positionnel en science.

Questionnement sur les entiers

Une définition formelle de l'ensemble des entiers naturels a été formulée au XIX^e siècle. Elle ne permet pas forcément de mieux comprendre les entiers.

Beaucoup de questions ouvertes concernent les entiers naturels, comme la conjecture de Syracuse. Les questions les plus simples sont parfois les plus compliquées à résoudre car on ne voit pas trop par où partir. Ce fut le cas par exemple avec le dernier théorème de Fermat.

De plus, la crise des fondements a conduit à lancer un doute sur la notion de vérité en mathématiques : une propriété est vraie si on peut la démontrer, elle est fausse si on peut en donner un contre-exemple ou démontrer son contraire. Selon le théorème d'incomplétude de Gödel, on peut énoncer toujours une propriété sur les entiers naturels qui n'est ni vraie, ni fausse... Ce théorème est évidemment déroutant.

Voir aussi

• Ensemble des entiers naturels

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