Nombre réel

Un nombre réel est un nombre qui permet de représenter n'importe quelle mesure d'une grandeur physique.

On imagine souvent les nombres réels comme des points sur une droite infinie (sans extrémité).

Parmi les nombres réels, il y a les nombres entiers [...] -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2 [...] ; les nombres rationnels, c'est-à-dire des fractions d'entiers, (par exemple 1/2, -3/4) ; et tous les autres appelés irrationnels, comme par exemple le nombre π (lettre grecque pi), égal à la longueur de la circonférence d'un cercle de diamètre de longueur 1.

Un nombre réel est représenté par des chiffres et une virgule, comme par exemple 324,823211247…. avec éventuellement un signe devant comme par exemple -2,77777... Les points de suspension indiquent qu'il y a encore d'autres chiffres après mais qui ne sont pas donnés.

Les mesures physiques

Avec une grande règle graduée de 5 mètres, on mesure la longueur d'une porte. On voit que la porte mesure entre 2 mètres et 3 mètres ; on lit alors les décimètres. Elle mesure 2 mètres et 5 décimètres. Mais la mesure n'est pas exacte, elle fait entre 2,5 et 2,6 mètres. On veut une mesure plus précise et on détermine le nombre de centimètres après 2,5, on trouve 4 centimètres de plus, mais on se rend compte que la longueur de la porte dépasse la graduation 4, sans dépasser celle des 5 centimètres, alors on lit le nombre de millimètres et on obtient 8. Ainsi la porte mesure approximativement 2,548 mètres. Mais si on voulait la valeur exacte, il faudrait des graduations de plus en plus précises indiquant les millièmes, etc. En supposant que ce soit possible de mesurer sans jamais s'arrêter, on obtiendrait une mesure avec une infinité de décimales et elle serait représentée par un nombre réel.

Afin de pouvoir mesurer des grandeurs pouvant être négatives, comme la température avec un thermomètre ou l'intensité d'un courant continu dans un circuit électrique avec un ampèremètre, les nombres réels peuvent aussi être négatifs et, dans ce cas, on les représente avec un signe.

Représentation des nombres réels

Lorsqu'un réel est positif, on peut l'écrire sous la forme d'un certain nombre de chiffres avant la virgule formant la partie entière ; et d'une infinité de chiffres après la virgule formant la partie décimale. Il est évidemment impossible de représenter tous les chiffres après la virgule lorsque ce n'est pas périodique.

Par exemple 2 = 2,0000… mais π = 3,1415… et pour ce dernier nombre, l'écriture ne peut pas s'arrêter.

Dans le cas général, tout réel positif x s'écrit sous la forme :

$x = x_0,a_1a_2a_3\cdots = x_0 + \frac{a_1}{10} + \frac{a_2}{100} + \frac{a_3}{1000} + \cdots$

où x₀ est un entier naturel et a₁, a₂, a₃, etc., sont des chiffres :

• x₀ est la partie entière et correspond au nombre d'unités ;
• a₁ le nombre de dixièmes ;
• a₂ le nombre de centièmes ;
• a₃ le nombre de millièmes ;
• etc.

Les réels négatifs s'écrivent sous la même forme, mais avec un signe « moins » devant.

Les nombres réels et les calculatrices

Les calculatrices n'aiment pas beaucoup les nombres réels et ont du mal à travailler avec. La difficulté provient du fait que la mémoire d'une calculatrice est limitée et les nombres réels sont tous coupés à une dizaine de décimales après la virgule, ce qui provoque dès le départ des erreurs qui peuvent être lourdes de conséquences. Une calculatrice ne permet en fait que de représenter de façon exacte certains nombres décimaux. Mais au fur et à mesure des calculs, les résultats perdent de leur précision et le résultat final peut être faux. Les calculatrices utilisent généralement la notation scientifique pour afficher les nombres.

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