Asymptote

Une asymptote à la courbe représentative d'une fonction est une droite qui se rapproche infiniment de la courbe sans jamais l'atteindre.

Approche

La fonction inverse

L'équation de l'asymptote est calculée à partir de limites. Prenons un exemple: la fonction inverse : $f:x\rightarrow {\frac {1}{x}}$ : Sur le graphique, on voit que la courbe se rapproche de l'axe des abscices. On dit alors que la droite d'équation $y=0$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction $f$. De même on voit que la courbe se rapproche de l'axe des ordonnées sans le toucher. La droite d'équation $x=0$ est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction $f$.

Fonction $g$ en vert

Autre exemple : considérons la fonction $g$ définie par $g(x)=x+{\frac {2}{x+2}}+1$. Sa courbe possède deux asymptotes d'équations $y=x+1$ (asymptote oblique) et $x=2$ (asymptote verticale).

Définitions

Soit $f$ une fonction et on note ${\mathcal {C}}_{f}$ sa courbe représentative.

• Dans le cas où la limite en $+\infty$ ou en $-\infty$ est $l$, on dit que la droite d'équation $y=l$ est une asymptote horizontale à la courbe ${\mathcal {C}}_{f}$.
• Dans le cas où la limite en $a$ est $+\infty$ ou $-\infty$, on dit que la droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale à la courbe ${\mathcal {C}}_{f}$.
• Si $f$ est telle que $\lim \limits _{x\to \pm \infty }[f(x)-(ax+b)]=0$, on dit alors que la droite d'équation $y=ax+b$ est une asymptote oblique à la courbe représentative ${\mathcal {C}}_{f}$ en $\pm \infty$.

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