Fonction

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Une fonction est un objet des mathématiques, au même titre que les nombres, les ensembles ou les vecteurs.

Chaque objet mathématique a sa particularité : par exemple, les ensembles sont comme de gros réservoirs contenant les autres objets ; les vecteurs sont des sortes de mouvements ; et les fonctions ? Ce sont les objets qui transforment d'autres objets.

On se propose de voir les fonctions comme de petites usines : elles transforment de la matière première en produit fini ! Dans ce cas, la « matière première » est les objets contenus dans l'ensemble dit de départ de la fonction (c'est l'ensemble de tous les objets qu'elle peut transformer). Le « produit fini », c'est l'objet de départ transformé par la fonction ; l'ensemble de tous les objets de départ transformés constitue l'ensemble d'arrivée de la fonction.

Définition mathématique[modifier]

En mathématiques, une fonction est une application qui « part » d'un ensemble d'objets1 et « va dans » lui-même ou un autre ensemble. Elle associe à chaque objet de l'ensemble d'arrivée2 un (ou plusieurs) objets de l'ensemble de départ3. La notation f(x) symbolise donc clairement l'objet d'origine x « transformé » par f pour former le nouvel objet f(x). La branche des mathématiques qui étudie les fonctions s'appelle l'analyse.

Exemple théorique : qu'est-ce qu'une fonction ?[modifier]

Notre fonction, F, associe à chacune des six premières lettres de l'alphabet latin un unique caractère grec : par exemple, F(b) = α.

Prenons la fonction F représentée (schématiquement) à droite. Elle associe à chacune des six premières lettres de l'alphabet latin un unique caractère grec : par exemple, F (b) = α. Bien sûr, les caractères latins et grecs ne sont pas de objets mathématiques, et les fonctions travaillent le plus souvent sur des nombres ; mais c'est un exemple pour comprendre.


  • L'ensemble de départ de F est donc {a,b,c,d,e,f}, et son ensemble d'arrivée est {α,γ,ε,θ,ρ}.


  • F (b) = α. Ici, α est appelé image de b par F, et b est appelé antécédent de α par F.


  • On observe qu'il y a plus d'éléments dans l'ensemble de départ que dans l'ensemble d'arrivée : ce n'est pas un problème.
    • d'où règle : une fonction peut associer à plusieurs objets la même image ; mais jamais plusieurs images au même objet !
  •  : Ainsi, F (d) = F (f) = ε, de même qu'avec la fonction carré on a 32 = (-3)2 = 9. En revanche, on ne peut pas avoir F(x) = φ = σ (quand φ ≠ σ) : cela reviendrait à écrire quelque chose comme 32 = 9 = 13, ce qui est absurde !


  • On peut aussi effectuer des opérations sur les fonctions, comme sur les nombres : somme, différence, multiplication, passage à l'inverse, division et composition sont les plus courantes (on en détaillera juste après). Il existe également deux autres opérations fondamentales sur les fonctions : la dérivation et la primitivation.
  •  : Soit une fonction H, du même type que notre fonction F.
    • Somme : (F+H)(b) = F (b) + H (b) (= α + H (b), car F (b) = α) ; la différence fonctionne de la même manière.
    • Composition : (FoH)(b) = F (H (b)). Ici, la fonction H transforme b (en H (b)) et envoie le résultat directement à F, qui transforme à son tour H (b) en F (H (b)).
    •  :Attention ! si (F+H)(b) = (H+F)(b) (cela tient aux propriétés de l'addition), (FoH)(b) n'est pas forcément égal à (HoF)(b) ! En effet, (FoH)(b) = F (H (b)), mais (HoF)(b) = H (F (b)) = H (α).

Exemples pratiques[modifier]

En pratique[modifier]

On définit par exemple f(x)=2x+3. Pour calculer la valeur de f(3), on effectue le calcul en remplaçant la variable x~ par 3:

f(3)=2\times 3+3=9

Ceci est vrai pour n'importe quelle fonction ! C'est aussi la raison pour laquelle x est parfois appelé paramètre : le résultat de f(x) dépend de la valeur que l'on donne à x.

Exemples algébriques[modifier]

  • Une fonction constante est de la forme f:x\mapsto a, avec a une constante (c'est-à-dire un nombre qui ne varie pas). f:x\mapsto 3 est la fonction constante qui transforme tout x en le nombre 3.
  • Une fonction affine est de la forme f:x\mapsto ax+b, avec a et b des constantes.
  • Une fonction puissance est de la forme f:x\mapsto a^{x}, où a est une constante.
  • Une fonction polynômiale est de la forme f:x\mapsto a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+..., où a_{n} est le n-ième coefficient de la fonction (chaque a étant une constante).

Fonctions remarquables[modifier]

Injection, surjection, bijection[modifier]

Injection[modifier]

Une fonction est dite injective si elle associe à chacune de ses images au plus un antécédent. Visuellement, l'ensemble d'arrivée d'une telle fonction est de « taille » égale ou supérieure à celle de l'ensemble de départ : il se peut que certains éléments n'aient pas d'antécédent par la fonction.

La définition mathématique de l'injectivité est « quels que soient x et y appartenant à l'ensemble de départ E, si f(x) égale f (y) implique que x égale y, alors f est injective ». Cela s'écrit \left(\forall x\in E\right)\left(\forall y\in E\right)\left(f(x)=f(y)\Rightarrow x=y\right)\Leftrightarrow f~est~injective.

Surjection[modifier]

Une fonction est dite surjective si elle associe à toute image au moins un antécédent. Par exemple, la fonction utilisée dans notre exemple est surjective, parce que chacune de ses images a au moins un antécédent (elles en ont toutes un, sauf γ qui en a deux).

Si E est l'ensemble de départ et F l'ensemble d'arrivée de la fonction f, la définition mathématique de la surjection s'écrit (\forall y\in F)(\exists x\in E)(y=f(x))\Leftrightarrow f~est~surjective, ce qui se lit simplement « si (et seulement si), pour toute image y, il existe (au moins) un élément x tel que x est l'antécédent de y par f, alors f est surjective ».

Bijection[modifier]

  • Vikidia possède enfin un article Bijection ! Clin d'œil

Une fonction est qui à la fois injective et surjective est dite bijective. Dans le cadre d'une fonction bijective, chaque antécédent est donc associé à une unique image, et chaque image n'a qu'un antécédent. Par exemple, les fonctions affines (comme f:x\mapsto 2x+1) sont toutes bijectives4, parce qu'à partir de n'importe quelle image, on peut retrouver un (et un seul) antécédent.

Remarques[modifier]

  • f(x) se lit « F de X ».
  • Une fonction peut se calculer à partir de plusieurs variables, on note alors f (x, y) ou f (x1, x2, ... xn-1, xn).
  • voir aussi Dérivée de fonctions

Références[modifier]

  1. Dans la plupart des fonctions étudiées, ces objets sont des nombres ; mais on peut former des fonctions manipulant des ensembles, ou d'autres objets mathématiques.
  2. On note généralement cet objet f(x).
  3. Alors noté x. Mais la lettre n'a pas d'importance particulière, il faut la voir comme un nom : on peut créer une fonction g qui transforme t en g (t).
  4. Hormis, bien sûr, les fonctions constantes, qui ne sont ni injectives, ni surjectives (puisqu'elles associent une seule image à tous leurs antécédents).


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