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Théorème de Bayes
Le théorème de Bayes est un théorème important en théorie des probabilités. Il permet de calculer la probabilité qu'un événement ait lieu à partir d'un autre événement qui s'est réalisé, en particulier lorsque les deux événement sont interdépendants 
, bien qu'il fonctionne aussi pour des événements indépendants.
Le théorème a été dévoilé dans un article entamé par Thomas Bayes et terminé puis publié par Richard Price. Les parts de contribution respectives des deux auteurs aux travaux de recherche ne sont pas connues, mais le nom du théorème a été attributé à Bayes car il était cité comme le premier auteur de la publication.
Exemples concrets et ensembles :[modifier | modifier le wikicode]
Un exemple pratique d'utilisation de ce théorème est Le paradoxe des anniversaires expliqué dans l'encadré sur probabilité de Vikidia.
Sous une forme simple et concrète ce théorème est utilisé pour calculer la chance ou probabilité de sortir deux fois de suite la face 6 en jouant avec des dés deux fois :
sur une fois le hasard ou probabilité de tirer une fois la face 6=A0 est de 1 fois sur 6 parmi les 6 faces d'un dé, donc 1/6 sur un ensemble AT de 6 possibilités, toutes équivalentes de dés non truqués.
La seconde fois considérée de façon isolée, la probabilité est aussi 1/6=B avec un ensemble BT supplémentaire nouveau de 6 possibilités indépendantes totalement du premier tirage de dés.
La probabilité d'observer à la suite un double 6 est 1/6 fois 1/6= 1/36 faible,
pour que cela se produise statistiquement environ une fois il faut essayer environ 36 fois,
avec le théorème de Bayes, si on tire 36 fois des paires de dés, la probabilité de ne pas avoir 2 fois de suite 6 est de 35/36 puissance 36 ( ce rapport 35/36 multiplié par lui même 36 fois ) égal à (35/36)^36=0,36 ( facile avec calculateur mais plus difficile sans calculette ), c'est à dire qu'alors 2 fois sur 3 en probabilité on tire une paire de 6 en 36 essais consécutifs au moins ( 1-0,36=0,64 probabilité environ 2/3 de tirer une fois une paire de 6 sur 36 essais, le au moins indique que en 36 répétitions de tirages de paires de dés on peut avoir aussi plusieurs fois une paire de 6,
un exercice est de calculer la probabilité du nombre de paires à tirer pour avoir une seule fois une paire de 6, nombre probable inférieur à 36, qui demande plus de soin dans les énoncés et le calcul pour ne pas faire d'erreurs, pour une fois c'est 1/36 ...... ).
L'ensemble ABT total des possibilités après 2 tirages est celui de toutes les 6x6=36 possibilités d'avoir toutes les paires de 6 chiffres comme 1,1 1,2 .... 4,3 .. 6,6 ,
On peut voir cet ensemble total ABT de tous les tirages possibles comme un damier x,y de cases 6 par 6 numérotées par les 6 lignes x pour le premier tirages et 6 colonnes y pour le second.
l'ensemble A avec 6 obtenu au premier tirage et n'importe quoi après au second, est celui de toutes les paires avec que 6 en premier 6,1 6,2, ....jusqu'à 6,5 6,6 donc la colonne de 6,y à gauche du damier
B est l'ensemble des paires avec que des 6 en second tirage soit la liste 1,6 2,6 à 5,6 6,6 donc la ligne de x,6 en bas du damier
et le sous ensemble simple du double gain avec tirage deux fois 6 est 6,6=A intersection avec B du théorème de Bayes est la case 6,6 à l'extrémité en bas à droite.
Sa probabilité est de une sur 36 cases.
Si on tire 3 fois la probabilité de 3 fois 6 est très faible 1/36x1/6=1/216 encore possible avec beaucoup de chance 1 sur 216
Ainsi la probabilité de répéter le même événement avec des 6 répétés diminue très vite, comme dans beaucoup de jeux de chance et aussi en physique avec l'entropie qui bloque pour revenir en arrière après un mélange de 2 gaz.
Les ensembles sont complexes facilement, et demandent une analyse précise de tous les événements possibles, surtout si le premier tirage modifie la probabilité du second, alors il est très facile de faire des erreurs.
Dans le paradoxe des anniversaires expliqué dans l'encadré sur probabilité de Vikidia à lire, le 6 est remplacé par les 365 jours d'une année et pour calculer la probabilité qu'aucun n'a le même anniversaire sur les 30 élèves, on tire un jour au hasard sur 365, donc probabilité égale à 1 pour le premier, puis le second n'a le choix que sur 365-1=365-2+1=364 jours pour être différent du premier, ainsi de suite jusqu'au 30 ième élève avec que 365-30+1=334 possibilités d'avoir un anniversaire différent des 30 autres.
Le dessin de l'ensemble de 365^30 cases ( espace de dimension 30 ) est immense et impossible.
Si on avait calculé, comme pour les dés en multipliant 1/365 30 fois par lui même, on obtient la probabilité très très faible d'avoir tous les 30 élèves avec tous le même jour anniversaire, en réalité impossible avec 1/7,4x10^76, ( 1 divisé par un nombre de 76 chiffres ), même dans toutes les classes de toute la terre.
Il est donc très important de bien préciser ce qu'on calcule, qui devient vite complexe.
Énoncé[modifier | modifier le wikicode]
Le théorème s'énonce ainsi:
Et nécessite afin d'être valide, car on ne peut pas diviser par zéro. Par simple reformulation, il implique également que:
L'explication de ce théorème est simple: La probabilité d'observer les événements A et B est la probabilité d'observer l'événement A multipliée par la probabilité d'observer l'événement B sachant qu'on a déjà observé A.
Cette formule permet de calculer par exemple lorsque et sont connus, ou bien calculer lorsque et sont connus.
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