Sinus (géométrie)

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En trigonométrie, le sinus d'un angle non droit d'un triangle rectangle est le rapport entre les longueurs du côté opposé et de l'hypoténuse. Le sinus d'un angle est toujours compris entre -1 et 1.

Pour s'en souvenir, on peut retenir $sin=opp/hyp$, ou sinopip.

Loi de sinus

Dans un triangle quelconque on a la relation : $\frac{a}{\sin (\gamma )}=\frac{b}{\sin (\alpha )}=\frac{c}{\sin (\beta )}$ ou α, β, γ sont les angles de ce triangle. Cela nous permet donc à partir des sinus de calculer les longueurs des côtés a et b.

Prenons l'exemple de l'image, commençons par calculer l'angle γ : $\gamma =180-(30+45)=105$

On a donc la relation suivante : $\frac{a}{\sin (105)}=\frac{b}{\sin (45)}=\frac{2}{\sin (30)}$

On peut donc commencer par calculer b ce qui donne : $b=\frac{2\times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=2\times \sqrt{2}$

On peut également calculer a de la même façon : $a=\frac{2}{\frac{1}{2}}\times \sin (105)\approx 3,86$.

Démonstration

La loi des sinus se démontre très facilement et fait seulement appel à des propriétés de niveau 3^e au maximum. Prenons un triangle ABC quelconque et traçons son cercle circonscrit ayant pour rayon R, comme sur l'image ci-contre.

Le triangle ABC étant supposé non-rectangle, il n'est pas facile de donner le sinus de l'angle α. Pour ce faire nous allons tracer un autre triangle qui lui sera rectangle, ce qui sera plus facile. Pour tracer ce triangle rectangle on va tracer un segment [CJ] qui est un diamètre du cercle circonscrit, comme sur l'image ci-contre. En effet, le triangle est rectangle, car il est inscrit dans le cercle ayant pour diamètre un de ses côtés.

On en déduis donc le sinus de l'angle $\widehat{BDC}$ qui est égale à $\sin (\widehat{BDC})=\frac{BC}{CD}=\frac{BC}{2R}$. Cependant on cherche le sinus de l'angle α et non celui de l'angle D (ou BDC). On remarque que les deux angles interceptent le même arc de cercle en B et en C, cela veut donc dire que les deux angles sont égaux et que donc leur sinus sont égaux on a donc $\sin (\widehat{BDC})=sin(\hat{\alpha })=\frac{CB}{2R}$ on obtient donc $\frac{CB}{\sin (\hat{\alpha })}=2R$. Avec le même raisonnement on obtient $\frac{CA}{\sin (\hat{\alpha })}=2R$ et $\frac{AB}{\sin (\hat{\alpha })}=2R$, ce qui termine la démonstration.

Calcul du sinus à partir du cosinus

Si l'on connait le sinus on peut déterminer le cosinus d'un angle et inversement grâce à la relation $co{s}^2(x)+si{n}^2(x)=1$. Par exemple si $cos(x)=\frac{3}{4}$ alors on a $(\frac{3}{4}{)}^2+si{n}^2(x)=1$. On en déduit donc que $si{n}^2(x)=1-(\frac{3}{4}{)}^2$ qui équivaut à $si{n}^2=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$ on utilise la racine carré: $\sqrt{\frac{7}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$ qui approximativement égale 0,65.

Voir aussi

• Tangente
• Cosinus
• Fonction trigonométrique

Sources

• La démonstration