En algèbre, la diagonalisation d'un endomorphisme revient à trouver une base de cet endomorphisme composée de vecteurs propres.
Avant de tenter de diagonaliser un endomorphisme, il faut d'abord savoir s'il est diagonalisable ou non.
- La matrice canoniquement associée à l'endomorphisme est symétrique réelle. Alors, d'après le théorème spectral, elle est diagonalisable (et donc l'endomorphisme aussi).
- Le spectre de la matrice canoniquement associée à l'endomorphisme contient autant de valeurs propres distinctes que la dimension de cette matrice.
- La somme des dimensions des espaces propres de l'endomorphisme vaut la dimension de la matrice canoniquement associée.
- L'espace vectoriel sur lequel il est défini est la somme de ses espaces propres. C'est-à-dire, l'endomorphisme de est diagonalisable et possède valeurs propres distinctes si et seulement si
Une fois le spectre de la matrice diagonalisable obtenu, ainsi que ses vecteurs propres pour chaque valeur propre, on peut écrire : il existe une matrice diagonale et une matrice inversible telles que , où contient les valeurs propres de la matrice sur sa diagonale, et les colonnes de sont ses vecteurs propres.