Équation du second degré à une inconnue

Pour résoudre une équation du second degré à une inconnue, il existe une méthode générale et facile à appliquer :

Prenons l’équation où l’inconnue est x et a, b, c des nombres (n’importe lesquels, il faut juste que a soit différent de zéro) :

$ax^{2}+bx+c=0$(1)

Il existe une valeur particulière, appelée discriminant (voir l’article Polynôme), que l’on note généralement $\Delta$ (delta majuscule) et qui, avec les mêmes valeurs de a, b et c, vaut :

$\Delta =b^{2}-4ac$.(2)

Selon la valeur de ce déterminant, tu peux connaître la forme des solutions de ton équation :

• si $\Delta =0$, tu as une seule solution : $x=-{\frac {b}{2a}}$ ;
• si $\Delta >0$, tu as deux solutions : $x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ et $x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ (remarque que c’est comme dans le cas précédent quand $\Delta =0$) ;
• si $\Delta <0$, tu n’as aucune solution réelle. Il existe néanmoins deux solutions dans l’espace des nombres complexes : $x_{1}={\frac {-b+i{\sqrt {-\Delta }}}{2a}}$ et $x_{2}={\frac {-b-i{\sqrt {-\Delta }}}{2a}}$

Exemple

Pour résoudre l'équation $2x^{2}-3x+{\frac {7}{8}}=0$ où $x$ est une inconnue :

On calcule le discriminant $\Delta =(-3)^{2}-4\times 2\times {\frac {7}{8}}=2$. Comme le discriminant est strictement positif, l'équation admet 2 solutions.

La forme générale des solutions donne $x_{1}={\frac {-(-3)+{\sqrt {2}}}{2\times 2}}$ ou $x_{2}={\frac {-(-3)-{\sqrt {2}}}{2\times 2}}$

En réduisant, on trouve $x_{1}={\frac {3+{\sqrt {2}}}{4}}$ ou $x_{2}={\frac {3-{\sqrt {2}}}{4}}$

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