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Syntaxe d'une phrase logique

Une phrase logique est un énoncé (comme « Il fait beau. ») portant sur des notions mathématiques et/ou logiques. Par exemple, il pourra s'agir d'un énoncé qui donnera les propriétés d'un nombre $x$ :

$x\leq 2$
(« $x$ est plus petit ou égal à 2 »)

En mathématiques, il est souvent indispensable d'écrire sous cette forme, car cela constitue un langage :

• concis : l'exemple précédent en témoigne, une phrase logique est généralement bien plus courte qu'une phrase en français (par exemple) ;
• précis : chaque phrase mathématique n'a qu'un seul sens, il n'y a pas d'ambiguïté comme dans les langues parlées (français, anglais, etc.) ;
• universel : une phrase mathématique sera comprise par tous les mathématiciens du monde, quelle que soit leur langue maternelle.

Comme en français, les phrases logiques un peu longues se décomposent en « propositions » : par exemple, pour signifier « Tout $x$ appartenant à l'ensemble ${\mathcal {E}}$ est plus petit que deux », on séparera la phrase en deux parties :

1. « Quel que soit $x$ appartenant à ${\mathcal {E}}$ » : $(\forall x\in {\mathcal {E}})$
2. « $x$ est plus petit que deux » : $(x\leq 2)$

Ce qui donne : $(\forall x\in {\mathcal {E}})(x\leq 2)$

Face à une phrase comportant plus de deux parties, comme $(\forall n\in \mathbb {N} )(\forall x\in {\mathcal {E}})(x\geq 2)(x+n\geq 2)$, on traduit en fonction du contenu de chaque proposition (et cela se fait assez naturellement). Ainsi, pour passer d'une proposition à l'autre, on utilise souvent « et », « alors » et « tel que ». La phrase logique précédente se traduit donc : « Quels que soient $n$ un entier et $x$ appartenant à ${\mathcal {E}}$, tel que $x$ est plus grand que 2, alors $x+n$ est plus grand que 2 ».

Quelques symboles mathématiques

Les négations

Il faut garder à l'esprit que nier une phrase logique ne consiste que rarement à prendre les négations de tous les symboles présents dans ladite phrase. Par exemple, la négation de : $\left(\exists n\in \mathbb {N} \right)(n<2)$ (« Il existe un élément $n$ dans l'ensemble des entiers naturels tel que $n$ est strictement inférieur à 2 ») n'est surtout pas : $\left(\nexists n\notin \mathbb {N} \right)(n\geq 2)$ (« Il n'existe aucun $n$ (hors de l'ensemble des entiers) qui soit supérieur à 2 »), mais plutôt : $\left(\forall n\in \mathbb {N} \right)(n\geq 2)$ (« Quel que soit $n$ un entier naturel, $n$ est supérieur à 2 »). Ce n'est qu'un exemple, et les négations peuvent être bien plus ardues à réaliser !

Les symboles mathématiques ont un sens précis, et le connaître peut être utile pour bien saisir le sens d'une phrase logique, ou même d'une équation. L_AT^EX offre en outre une immense variété de ces symboles et, comme l'utilisation de ce système est vivement encouragée dans les articles scientifiques (du fait de la clarté et de l'élégance qu'il procure aux formules), chaque symbole expliqué est ici suivi du code permettant à chacun de le générer.

Rappel : pour produire ces symboles, il faut écrire leur code entre les deux balises <math> </math>.

• $\in$ ou relation d'appartenance (\in) : on peut le lire comme « appartient à ... » ;

  Exemple : $n\in \mathbb {N}$ signifie « $n$ appartient à l'ensemble des entiers naturels » ;

  Négation : $\notin$ (« n'appartient pas à ... ») (\notin) ;

• $\subset$ ou relation d'inclusion (\subset) : on peut le lire comme « est inclus dans ... » ;

  il ne faut pas le confondre avec $\in$ ! Ce dernier s'applique aux éléments qui composent un ensemble, lorsque ces éléments ne sont pas eux-mêmes des ensembles. En revanche, $A\subset {\mathcal {A}}$ signifie que l'ensemble $A$ est un sous-ensemble de l'ensemble ${\mathcal {A}}$ ;

  Exemple : $n\in \mathbb {N} \subset \mathbb {R}$ signifie : « l'élément $n$ appartient à l'ensemble des nombres entiers, lui-même contenu dans l'ensemble des nombres réels » ;

• $\exists$ ou quantificateur existentiel : on peut le lire comme « il existe ». La variante en est $\exists !$ signifiant « il existe un unique ... » ;

  Exemple : $(\exists !x\in \mathbb {N} )(x=3+2)$ signifie « Il existe un unique entier $x$ qui soit résultat de l'addition de 3 par 2 » ;

  Négation : $\nexists$ (« il n'existe aucun ... ») (\nexists);

• $\forall$ ou quantificateur universel (\forall) : on peut le lire comme « pour tout ... » ou « quel que soit ... » ;

  Exemple : $(\forall x\in \mathbb {N} )(\forall y\in \mathbb {N} )(x+y\geq x)$ (« Quels que soient les entiers $x$ et $y$, le résultat de leur somme est supérieur à $x$ ») ;