Construction à la règle et au compas

La possibilité de construire certaines figures en utilisant uniquement la règle et au compas est un problème géométrique datant de l'Antiquité. L'algèbre moderne a permis de déterminer des critères permettant ces constructions.

Construction à la règle et au compas de la médiatrice d'un segment
Construction à la règle et au compas de la bissectrice d'un angle
Construction à la règle et au compas du pentagone régulier
Construction à la règle et au compas de l'hexagone régulier

Polygones réguliers[modifier | modifier le wikicode]

La construction des polygones réguliers à la règle et au compas est un problème ancien. Euclide détaille dans Les éléments les méthodes pour construire les polygones réguliers à 3, 4, 5, 6 et 15 côtés.

Au XVIIIe siècle, Carl Friedrich Gauss utilise des outils de la théorie de Galois¹ pour détailler la construction de l'heptadécagone, polygone régulier à 17 côtés. En 1837, Pierre-Laurent Wentzel prolonge ces travaux et donne le critère pour qu'un polygone régulier soit constructible.

Théorème de Gauss-Wentzel : un polygone régulier possédant $n$ côtés est constructible à la règle et au compas uniquement si $n$ est une puissance de $2$ , si $n$ est un nombre de Fermat (de la forme $1+2^{2^{k}}$ ) ou si $n$ est un produit de ces deux types d'écriture.

Par conséquent, les polygones réguliers à 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20… sont constructibles à la règle et au compas et les polygones à 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19… ne sont pas constructibles à la règle et au compas .

Les 3 problèmes Antiques[modifier | modifier le wikicode]

Dans l'Antiquité, trois problèmes de construction à la règle et au compas préoccupaient les Grecs :

la duplication du cube : construire un cube deux fois plus grand en volume qu'un cube donné, à la règle et au compas²
la trisection de l'angle : diviser un angle donné en trois angles égaux, à la règle et au compas
la quadrature du cercle : construire un carré de la même surface qu'un cercle donné³

Les travaux de Wentzel de 1837 montreront que les deux premiers sont impossibles. En 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann montre que π est un nombre transcendant, ce qui entraîne que les troisième problème est aussi impossible à cause des règles de l'algèbre.

Références[modifier | modifier le wikicode]

Liens externes[modifier | modifier le wikicode]

Constructibilité de polygones réguliers :[1]
Construction de polygones réguliers :[2]
Maths-et-tiques : [3]
Chronomaths : [4]

Liens internes[modifier | modifier le wikicode]

Algèbre
Géométrie
Histoire des mathématiques

Notes[modifier | modifier le wikicode]

↑ La théorie de Galois ne sera formalisée que 60 ans plus tard, ce qui montre que Gauss était en avance sur son temps.
↑ Ce problème revient à multiplier le côté du cube par la racine cubique de 2.
↑ cela revient à tracer un carré dont le côté vaut π fois le rayon du cercle

[1] La théorie de Galois ne sera formalisée que 60 ans plus tard, ce qui montre que Gauss était en avance sur son temps.

[2] Ce problème revient à multiplier le côté du cube par la racine cubique de 2.

[3] revient à tracer un carré dont le côté vaut π fois le rayon du cercle

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Sommaire

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