Puissance (mathématiques)

Si tu cherches un article homonyme, tu veux peut-être lire Puissance (physique).

La puissance d'un nombre est le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même un certain nombre de fois selon l'exposant.

Exemples :

• 2² = 2 × 2 = 4
• 2³ = 2 × 2 × 2 = 8

Il ne faut pas confondre avec la multiplication :

• 2³ = 2 × 2 × 2 = 8
• 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6

Lecture d'une puissance

Cas général : aⁿ se lit « a exposant n » ou « a à la puissance n ». Les deux termes sont équivalents. Par exemple, 6⁸ se lit « six exposant huit » ou « six à la puissance huit ». Dans l'autre sens, on dit également que 6⁸ est une puissance de 6.

• Une puissance avec un exposant égal à deux peut aussi se dire « au carré » : 7² se lit « sept au carré ».
• Une puissance avec un exposant égal à trois peut aussi se dire « au cube » : 7³ se lit « sept au cube ».

Les puissances de 10

Les puissances de 10 sont des cas particuliers. Ils permettent d'écrire des grands nombres.

10²= 10 × 10 = 100 (deux zéros après 1)

10³= 10 × 10 × 10 = 1 000 (trois zéros)

10⁴= 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 (quatre zéros)

On remarque que le nombre de zéros présents dans la puissance correspond à l'exposant. Ceci est bien pratique pour représenter un nombre. Ainsi, un million (1 000 000) peut s'écrire 10⁶.

Ceci ne marche que pour les puissances de 10.

On peut s'en servir pour écrire des nombres qui ne sont pas des multiples de 10 comme ceci :

5 000 = 5 × 1 000 = 5 × 10³.

Certaines calculatrices affichent ce chiffre sous la forme « 5E+3 » ou « 5e+3 », c'est une abréviation de 5 fois 10 exposant 3, qui vaut 5 000.

C'est à ne pas confondre avec 5³, que les calculatrices affichent 5^3 et qui vaut 5 × 5 × 5 = 125.

Voir aussi Lecture des grands nombres.

Les exposants négatifs

Les exposants négatifs permettent eux d'écrire des nombres très petits (entre 0 et 1), notamment lorsqu'il s'agit de puissances de 10.

On écrit :

0,1 = 10^-1

0,01 = 10^-2

0,001 = 10^-3 et ainsi de suite.

Écriture scientifique

On appelle notation scientifique, la notation de la forme a × 10ⁿ où a est un nombre décimal avec un seul chiffre différent de zéro avant la virgule.

Exemples :

• 4,23 × 10² ;
• 2,01 × 10⁴.

Ainsi, le nombre 79 800 peut s’écrire :

• en puissance entière : 798 × 10² ;
• en écriture scientifique : 7,98 × 10⁴.

Pour en savoir plus, lis l’article : Notation scientifique.

Opérations avec les puissances

Comment manipuler des nombres élevés à une certaine puissance ? Plus concrètement, combien vaut, par exemple, 13⁶ × 13⁷ ?

• est-ce que c’est 13^{6 + 7} = 13¹³ (= 302 875 106 592 253) ?
• ou bien 13^{6 × 7} = 13⁴² (= 61 040 881 526 285 814 362 156 628 320 386 486 455 989 674 560) ?
• ou encore autre chose ?

Il existe une règle qui permet de trouver la réponse : il faut transformer la multiplication en addition (et donc la division en soustraction) ! Ainsi, si on note a, b et z trois nombres :

1. z^a × z^b = z^{a + b} : la multiplication (entre les deux z) devient une addition (entre a et b).
2. ${\frac {z^{a}}{z^{b}}}$ = z^{a – b} : la division (entre les deux z) devient une soustraction (entre a et b).

Ici, la base (z) est la même pour les deux nombres que l’on cherche à « réunir ». On ne peut pas manipuler aussi facilement des nombres dont c’est seulement la puissance qui est identique : cela ne marche que pour ceux dont la base est identique ! Ainsi, on peut appliquer notre règle de calcul à 13⁶ × 13⁷ (même base : 13), mais pas à 13⁶ × 11⁶ (même puissance : 6, mais pas la même base : 13 ≠ 11) !

Voir aussi

• Notation scientifique ;
• fonction exponentielle.

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