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Produit de facteurs nuls

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En mathématiques, un produit de facteurs nuls est un cas particulier d'équation.

Description

C'est une équation dont l'un des deux membres vaut zéro (on dit qu'il est nul), et dont l'autre est sous forme d'un produit de termes. Le mot « facteur » signifie « objet multiplié ». Un produit de facteurs nuls est donc la multiplication de plusieurs expressions (comme x, (2 - x), etc.) dont le résultat est zéro.

Par exemple :

  • est un produit de facteurs nuls : l'un de ses membres est nul, et l'autre est un produit de deux termes (x et (1 + x)) ;
  • n'est pas un produit de facteurs nuls : le premier membre n'est pas un produit, mais une somme ;
  • est un produit de facteurs nuls : c'est la multiplication de par dont le résultat est nul ;

Utilité

Lorsqu'on résout une équation, c'est-à-dire quand on cherche les valeurs pour lesquelles elle est vraie, il est « agréable » de se ramener à un produit de facteurs nuls car, souvent, cela simplifie beaucoup les calculs. En fait, c'est comme si l'on « découpait » une équation compliquée en parties bien plus simples.

Par exemple, il peut sembler difficile de résoudre une équation comme . Pourtant, il suffit de trouver que pour obtenir un produit de facteurs nuls : . Comment faire ensuite ?

Il faut penser que, pour qu'une multiplication donne zéro, l'un des termes multipliés vaut forcément déjà zéro ! En effet, avec la plupart des objets mathématiques (comme les nombres), on ne peut obtenir zéro qu'en multipliant quelque chose par zéro. Il est impossible de multiplier n'importe quels nombres (non nuls) entre eux pour obtenir zéro comme résultat !

Par conséquent, dans l'équation  :

  • soit a = 0 ;
  • soit b = 0 ;
  • soit a = 0 et b = 0.


Si l'on reprend notre produit de facteurs nuls précédent, implique que :

  • soit  :
    alors on peut résoudre l'équation simplifiée pour trouver quelles valeurs de x annulent le reste. On trouve facilement que le résultat de 1 + x est nul quand x = -1 ;
  • soit  :
    alors on peut résoudre l'équation simplifiée pour trouver quelles autres valeurs de x conviennent. On trouve de la même façon que le résultat de 2 - x est nul quand x = 2 ;
  • soit et  :
    dans ce cas, les deux cas précédents sont vrais en même temps, et donc les valeurs de x qui vérifient l'équation sont -1 et 2.

Les solutions de l'équation sont donc et , ce que l'on note . Cela se lit « x appartient à l'ensemble { -1 ; 2 } », ce qui signifie tout simplement que x peut valoir -1 ou 2.

De cette manière, on a trouvé que avait pour ensemble de solutions { -1 ; 2 }. Sans utiliser le produit de facteurs nuls, il aurait fallu employer une technique plus spécialisée : le calcul des racines d'un polynôme du second degré… On voit que notre méthode est bien plus simple ! Néanmoins, il faut réussir à mettre l'équation sous forme de produit de facteurs nuls, ce qui n'est pas toujours facile, ni même possible. Pour y arriver, il faut notamment bien connaître les identités remarquables.

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