Primitive (mathématiques)

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Les relations entre primitives et dérivées d'une fonction a.

En mathématiques, la primitive d'une fonction est elle-même une fonction. On peut voir la primitivation, c'est-à-dire la recherche d'une primitive, comme l'opération « inverse » de la dérivation (comme sur le schéma à droite).
En effet : appelons la primitive de la fonction  ; en dérivant , on retombe sur  !

Généralités[modifier | modifier le wikicode]

Les primitives sont surtout utilisées dans le calcul intégral.


Il est important de noter que n'importe quelle fonction f admet une infinité de primitives Fn1, alors qu'elle n'admet qu'une seule dérivée.

  • Pourquoi ?

Prenons la fonction . Elle n'admet, comme toute fonction, qu'une seule dérivée : (voir Dérivée de fonctions pour des détails sur la dérivation).

Maintenant, dérivons cette autre fonction : . Sa dérivée est...  !

On observe ici que deux fonctions différentes peuvent avoir la même fonction dérivée : .

À présent, nous allons primitiver . Nous savons que la primitivation est un peu l'opération inverse de la dérivation : il suffit de remonter le raisonnement dans l'autre sens. Mais en fin de compte, quelle est la primitive de  : f ou g ? Toutes les deux se dérivent bien en  !

En fait, si nous primitivons , d'après les règles de calcul des primitives (qui ressemblent à celles de la dérivation), nous obtenons  !

  • Mais quel est donc ce k ?

C'est la « constante d'intégration ». Lorsque l'on primitive une fonction, on recherche toutes ses primitives. On a vu qu'au moins deux fonctions (f et g) étaient des primitives de  ; mais elles sont en réalité en nombre infini ! Si l'on dérivait par exemple , on tomberait encore sur . C'est parce que, quand on dérive une fonction, son terme constant (ici 2, -8 ou 487) disparaît. Du coup, on peut mettre n'importe lequel à la place lorsque l'on primitive. C'est ce qu'indique le k dans  : nous pouvons le remplacer par n'importe quel nombre, sera toujours une primitive de .

Primitives usuelles[modifier | modifier le wikicode]

Quelques primitives de fonctions usuelles (on n'oubliera pas d'ajouter une constante d'intégration) :

  • ( est une constante)
  • et, plus généralement, pour n différent de -1, ( étant la fonction « puissance n », où n est un nombre entier)
  • (où l'on voit les fonctions sinus et cosinus)
  • (où est la fonction logarithme népérien)
  • (où est la fonction exponentielle)

Références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Dans Fn, n représente comme le « numéro » de la primitive : c'est simplement pour les distinguer les unes des autres.
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