Preuve par neuf

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La preuve par neuf est une méthode assez simple pour vérifier si une multiplication est juste. Cette méthode fonctionne aussi pour l'addition. Attention, elle peut parfois produire ce qu’on appelle des « faux positifs », c’est-à-dire se comporter comme si le calcul était juste (résultat « positif ») alors qu’il ne l’est pas (résultat « faux »).

Multiplication

Une multiplication est plus compliquée à faire qu'une addition, donc la preuve par neuf est plus intéressante pour la multiplication.

Exemple : On veut vérifier 19 × 56. Il faut additionner chaque chiffre et ne pas retenir le zéro. 1 + 9 égalent 10 (on ne compte pas le zéro donc 1), 5 + 6 égalent 11 (1 + 1 égalent 2). Le total est donc 1 (pour 19) multiplié par 2 (pour 56), DEUX.

Le calcul de la multiplication donne 1064. 1 + 6 + 4 égalent 11, 1 + 1 donnent DEUX. C'est juste.

Addition

La preuve fonctionne aussi pour l'addition.

Exemple : 18 + 54 égalent 72. Je vérifie si c'est juste : 18 me donne 9, 54 me donne 9, 9 et 9 font 18 qui donne 9. Je compare avec le résultat (72) qui donne 9 aussi.

Explication

Article à lire Article à lire : Modulus

Le principe général est qu’on utilise simplement une congruence modulo 9. D’après les règles de la congruence :

  • si a ≡ α mod. 9 et b ≡ β mod. 9, alors a × b ≡ α × β mod. 9 ;
  • donc, si notre multiplication à vérifier est a × b = c et si c ≡ γ mod. 9, alors (a × b = c) ⇒ (a × bc mod. 9) ⇒ (α × β = γ) !

Mais pourquoi suffit-il d’additionner les chiffres entre eux ?

Le « secret » de cette méthode se trouve dans le fait que l’on calcule habituellement en base 10. En effet, dans cette base, tout nombre à p+1 chiffres peut s’écrire sous la forme d’une combinaison linéaire de puissances de dix :

Ainsi, 569, nombre à 3 chiffres, s’écrit 500 + 60 + 9, c’est-à-dire .

L’astuce, c’est que 10 ≡ 1 mod. 9, donc toutes les puissances k de dix, , sont aussi congrues à 1 (modulo 9). Par conséquent, pour chaque k de l’expression du nombre :

mod. 9 ≡ mod. 9

ce qui vaut (quand ≠ 9) ou 0 (quand = 9, ce qui est à l’origine des « faux positifs » de la méthode : cf. section suivante).

De plus, si mod. 9 et mod. 9, alors mod. 9. Par conséquent :

   ≡    mod. 9


Donc, en base 10, il suffit d’additionner les chiffres qui composent un nombre a pour connaître le nombre α qui y est congru modulo 9. En appliquant le « principe général » décrit plus haut, on trouve bien que :

c’est-à-dire la preuve par neuf : si la multiplication du nombre par est égale à , alors la somme des chiffres de multipliée par la somme des chiffres de est égale à la somme des chiffres de .

Pourquoi ça ne fonctionne pas toujours

  • Il vaut mieux avoir lu la preuve ci-dessus pour bien comprendre cette section. Clin d'œil

On constate que :

  • 0 ≡ 0 mod. 9 ;
  • 9 ≡ 0 mod. 9.

Ainsi, 560 et 569 seront décomposés de la même manière dans la preuve par 9 :

  • pour 560 : 5 + 6 + 0 = 11 1 + 1 = 2 ;
  • pour 569 : 5 + 6 + 9 = 20 2 + 0 = 2,

alors que, pour n’importe quel nombre m, 569 × m et 560 × m ne donnent pas forcément (et pas souvent) la même chose !

Cependant, d’après la démonstration, si le calcul d’une multiplication est juste, sa preuve par neuf sera toujours juste ; c’est seulement lorsque le calcul est faux que, dans certains cas, la preuve par neuf peut « dire » qu’il est juste.

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