Preuve par neuf

La preuve par neuf est une méthode assez simple pour vérifier si une multiplication est juste. Cette méthode fonctionne aussi pour l'addition. Attention, elle peut parfois produire ce qu’on appelle des « faux positifs », c’est-à-dire se comporter comme si le calcul était juste (résultat « positif ») alors qu’il ne l’est pas (résultat « faux »).

Multiplication

Une multiplication est plus compliquée à faire qu'une addition, donc la preuve par neuf est plus intéressante pour la multiplication.

Exemple : On veut vérifier 19 × 56. Il faut additionner chaque chiffre et ne pas retenir le zéro. 1 + 9 égalent 10 (on ne compte pas le zéro donc 1), 5 + 6 égalent 11 (1 + 1 égalent 2). Le total est donc 1 (pour 19) multiplié par 2 (pour 56), DEUX.

Le calcul de la multiplication donne 1064. 1 + 6 + 4 égalent 11, 1 + 1 donnent DEUX. C'est juste.

Addition

La preuve fonctionne aussi pour l'addition.

Exemple : 18 + 54 égalent 72. Je vérifie si c'est juste : 18 me donne 9, 54 me donne 9, 9 et 9 font 18 qui donne 9. Je compare avec le résultat (72) qui donne 9 aussi.

Explication

Article à lire : Modulus.

Le principe général est qu’on utilise simplement une congruence modulo 9. D’après les règles de la congruence :

• si a ≡ α mod. 9 et b ≡ β mod. 9, alors a × b ≡ α × β mod. 9 ;
• donc, si notre multiplication à vérifier est a × b = c et si c ≡ γ mod. 9, alors (a × b = c) ⇒ (a × b ≡ c mod. 9) ⇒ (α × β = γ) !

Mais pourquoi suffit-il d’additionner les chiffres entre eux ?

Le « secret » de cette méthode se trouve dans le fait que l’on calcule habituellement en base 10. En effet, dans cette base, tout nombre à p+1 chiffres $a_{p}a_{p-1}a_{p-2}\ldots a_{1}a_{0}$ peut s’écrire sous la forme d’une combinaison linéaire de puissances de dix :

$a_{p}a_{p-1}\ldots a_{1}a_{0}=a_{0}\times 10^{0}+a_{1}\times 10^{1}+\ldots +a_{p-1}\times 10^{p-1}+a_{p}\times 10^{p}$

Ainsi, 569, nombre à 3 chiffres, s’écrit 500 + 60 + 9, c’est-à-dire $5\times 10^{2}+6\times 10^{1}+9\times 10^{0}$.

L’astuce, c’est que 10 ≡ 1 mod. 9, donc toutes les puissances k de dix, $10^{k}$, sont aussi congrues à 1 (modulo 9). Par conséquent, pour chaque k de l’expression du nombre :

$a_{k}\times 10^{k}$ ≡ $a_{k}\times 1$ mod. 9 ≡ $a_{k}$ mod. 9

ce qui vaut $a_{k}$ (quand $a_{k}$ ≠ 9) ou 0 (quand $a_{k}$ = 9, ce qui est à l’origine des « faux positifs » de la méthode : cf. section suivante).

De plus, si $a_{1}$ ≡ $\alpha _{1}$ mod. 9 et $a_{2}$ ≡ $\alpha _{2}$ mod. 9, alors $a_{1}+a_{2}$ ≡ $\alpha _{1}+\alpha _{2}$ mod. 9. Par conséquent :

$a_{0}\times 10^{0}+a_{1}\times 10^{1}+\ldots +a_{p-1}\times 10^{p-1}+a_{p}\times 10^{p}$   ≡   $a_{0}+a_{1}+\ldots +a_{p-1}+a_{p}$ mod. 9

Donc, en base 10, il suffit d’additionner les chiffres qui composent un nombre a pour connaître le nombre α qui y est congru modulo 9. En appliquant le « principe général » décrit plus haut, on trouve bien que :

$\left[a_{p}\ldots a_{0}\times b_{q}\ldots b_{0}=c_{r}\ldots c_{0}\right]\Rightarrow \left[(a_{p}+\ldots +a_{0})\times (b_{q}+\ldots +b_{0})=c_{r}+\ldots +c_{0}\right],$

c’est-à-dire la preuve par neuf : si la multiplication du nombre $a_{p}a_{p-1}\ldots a_{1}a_{0}$ par $b_{q}b_{q-1}\ldots b_{1}b_{0}$ est égale à $c_{r}c_{r-1}\ldots c_{1}c_{0}$, alors la somme des chiffres de $a_{p}a_{p-1}\ldots a_{1}a_{0}$ multipliée par la somme des chiffres de $b_{q}b_{q-1}\ldots b_{1}b_{0}$ est égale à la somme des chiffres de $c_{r}c_{r-1}\ldots c_{1}c_{0}$.

Pourquoi ça ne fonctionne pas toujours

• Il vaut mieux avoir lu la preuve ci-dessus pour bien comprendre cette section.

On constate que :

• 0 ≡ 0 mod. 9 ;
• 9 ≡ 0 mod. 9.

Ainsi, 560 et 569 seront décomposés de la même manière dans la preuve par 9 :

• pour 560 : 5 + 6 + 0 = 11 $\rightarrow$ 1 + 1 = 2 ;
• pour 569 : 5 + 6 + 9 = 20 $\rightarrow$ 2 + 0 = 2,

alors que, pour n’importe quel nombre m, 569 × m et 560 × m ne donnent pas forcément (et pas souvent) la même chose !

Cependant, d’après la démonstration, si le calcul d’une multiplication est juste, sa preuve par neuf sera toujours juste ; c’est seulement lorsque le calcul est faux que, dans certains cas, la preuve par neuf peut « dire » qu’il est juste.

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