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Preuve par neuf

« Preuve par neuf » expliqué aux enfants par Vikidia, l’encyclopédie junior
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La preuve par neuf est une méthode assez simple pour vérifier si un calcul fait de tête ou à la main est juste. Cette méthode n'est pas infaillible : si elle la preuve par neuf montre que le calcul est faux, alors le calcul est faux, mais si elle montre qu'il est juste, le calcul peut être quand même faux.

Principe général[modifier | modifier le wikicode]

Pa exemple on fait la multiplication 47 x 58. On trouve 2726.

  • On additionne les chiffres de chaque nombre de l'opération jusqu'à ce qu'on obtienne un seul chiffre pour chacun de ces nombres : 47 x 58 → (4+7) x (5+8) → 11 x 13 → (1+1) x (1+3) → 2 x 4
  • Puis on le multiplie : 2 x 4 → 8
  • On compare ensuite avec la somme des chiffres du résultat : 2726 → 2+7+2+6 → 17 → 1+7 → 8 également

Cela fonctionne pareil avec l’addition : 47 + 58 donne 105

  • 47 + 58 → (4+7) + (5+8) → 11 + 13 → (1+1) + (1+3) → 2 + 4 → 6
  • Puis avec 105 : 1+0+5 → 6 également

Multiplication[modifier | modifier le wikicode]

Une multiplication est plus compliquée à faire qu'une addition, donc la preuve par neuf est plus intéressante pour la multiplication.

Exemple : On veut vérifier 19 × 56. Il faut additionner chaque chiffre et ne pas retenir le zéro. 1 + 9 égalent 10 (1+0 égalent 1), 5 + 6 égalent 11 (1 + 1 égalent 2). Le total est donc 1 (pour 19) multiplié par 2 (pour 56), DEUX.

Le calcul de la multiplication donne 1064. 1 + 6 + 4 égalent 11, 1 + 1 donnent DEUX. C'est juste.

Addition[modifier | modifier le wikicode]

La preuve fonctionne aussi pour l'addition.

Exemple : 18 + 54 égalent 72. Je vérifie si c'est juste : 18 me donne 9, 54 me donne 9, 9 et 9 font 18 qui donne 9. Je compare avec le résultat (72) qui donne 9 aussi.

Explication[modifier | modifier le wikicode]

'Attention, cette partie risque d'être très confuse, si vous la comprenez, vous pouvez la voir'

Article à lire Article à lire : Modulus

Le principe général est qu’on utilise simplement une congruence Modulo 9. D’après les règles de la congruence :

  • si aα modulo 9 et bβ modulo 9, alors a × bα × β modulo 9 ;
  • donc, si notre multiplication à vérifier est a × b = c et si cγ modulo 9, alors (a × b = c) ⇒ (a × bγ modulo 9) ⇒ (α × β = γ) !

Mais pourquoi suffit-il d’additionner les chiffres entre eux ?

Le « secret » de cette méthode se trouve dans le fait que l’on calcule habituellement en base 10. En effet, dans cette base, tout nombre à p+1 chiffres peut s’écrire sous la forme d’une combinaison linéaire de puissances de dix :

Ainsi, 569, nombre à 3 chiffres, s’écrit 500 + 60 + 9, c’est-à-dire .

L’astuce, c’est que 10 ≡ 1 mod. 9, donc toutes les puissances k de dix, , sont aussi congrues à 1 (modulo 9). Par conséquent, pour chaque k de l’expression du nombre :

mod. 9 ≡ mod. 9

ce qui vaut (quand ≠ 9) ou 0 (quand = 9, ce qui est à l’origine des « faux positifs » de la méthode : cf. section suivante).

De plus, si mod. 9 et mod. 9, alors mod. 9. Par conséquent :

   ≡    mod. 9


Donc, en base 10, il suffit d’additionner les chiffres qui composent un nombre a pour connaître le nombre α qui y est congru modulo 9. En appliquant le « principe général » décrit plus haut, on trouve bien que :

c’est-à-dire la preuve par neuf : si la multiplication du nombre par est égale à , alors la somme des chiffres de multipliée par la somme des chiffres de est égale à la somme des chiffres de .

Pourquoi ça ne fonctionne pas toujours[modifier | modifier le wikicode]

  • Il vaut mieux avoir lu la preuve ci-dessus pour bien comprendre cette section. Clin d'œil

On constate que :

  • 0 ≡ 0 mod. 9 ;
  • 9 ≡ 0 mod. 9.

Ainsi, 560 et 569 seront décomposés de la même manière dans la preuve par 9 :

  • pour 560 : 5 + 6 + 0 = 11 1 + 1 = 2 ;
  • pour 569 : 5 + 6 + 9 = 20 2 + 0 = 2,

alors que, pour n’importe quel nombre m, 569 × m et 560 × m ne donnent pas forcément (et pas souvent) la même chose !

Cependant, d’après la démonstration, si le calcul d’une multiplication est juste, sa preuve par neuf sera toujours juste ; c’est seulement lorsque le calcul est faux que, dans certains cas, la preuve par neuf peut « dire » qu’il est juste.

Pour aller plus loin[modifier | modifier le wikicode]

Portail des mathématiques —  Les nombres, la géométrie et les grands mathématiciens.