Preuve par neuf

La preuve par neuf est une méthode pour vérifier si un calcul (fait mentalement ou à l'écrit) est juste.

Principe général

Par exemple on fait la multiplication 47 x 58. On trouve 2726.

1. Additionner les chiffre du multiplicande (premier nombre) jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un chiffre : 47 → 4+7 = 11 → 1+1 = 2
2. Additionner les chiffre du multiplicateur (deuxième nombre) jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un chiffre : 58 → 5+8 = 13 → 1+3 = 4
3. Additionner les chiffre du produit (résultat) obtenu jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un chiffre : 2726 → 2+7+2+6 = 17 → 1+7 = 8
4. Multiplier le résultat du premier calcul avec celui du deuxième : 2x4 = 8
5. Comparer le résultat de l'étape 4 et de l'étape 3 → Identique ? réponse juste | Différent ? réponse fausse

Multiplication

Une multiplication est plus compliquée à résoudre qu'une addition, donc la preuve par neuf est plus pratique pour la multiplication.

Exemple : On veut vérifier 19 × 56. notre réponse est 1064.

1. 19 → 1+9 = 10 → 1+0 = 1
2. 56 → 5+6 = 11 → 1+1 = 2
3. 1064 → 1+0+6+4 = 11 → 1+1 = 2
4. 1x2 = 2 également

Addition

La preuve fonctionne aussi pour l'addition.

Exemple : On veut vérifier 18 + 54. Notre réponse est 72.

1. 18 → 1+8 = 9
2. 54 → 5+4 = 9
3. 72 → 7+2 = 9
4. 9x9 = 81 → 8+1 = 9 également

Ce n'est pas infaillible

La preuve par neuf peut "mentir".

Exemple :

• Si elle montre que le calcul est faux, le calcul sera vraiment faux,
• Si elle montre qu'il est juste, le calcul peut quand même être faux.

Pourquoi ça ne fonctionne pas toujours

• Il vaut mieux avoir lu la preuve ci-dessus pour bien comprendre cette section.

On constate que :

• 0 ≡ 0 mod. 9 ;
• 9 ≡ 0 mod. 9.

Ainsi, 560 et 569 seront décomposés de la même manière dans la preuve par 9 :

• pour 560 : 5 + 6 + 0 = 11 $\rightarrow$ 1 + 1 = 2 ;
• pour 569 : 5 + 6 + 9 = 20 $\rightarrow$ 2 + 0 = 2,

alors que, pour n’importe quel nombre m, 569 × m et 560 × m ne donnent pas forcément (et pas souvent) la même chose !

Cependant, d’après la démonstration, si le calcul d’une multiplication est juste, sa preuve par neuf sera toujours juste.

C’est seulement lorsque le calcul est faux que, dans certains cas, la preuve par neuf peut montrer qu’il est juste.

Pour aller plus loin

• Consulter l’explication complète sur Wikipédia.

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