Pierre de Fermat

Pierre de Fermat, né en 1607 ou 1608 près de Montauban dans le sud-ouest de la France et mort en 1665 à Castres, est un mathématicien français du XVIIe siècle. Il est connu pour ses nombreux théorèmes en arithmétique et sa participation à la fondation des probabilités et du calcul infinitésimal.

Biographie[modifier | modifier le wikicode]

Maison natale de Pierre de Fermat à Beaumont-de-Lomagne

Fils d'un marchand, Pierre de Fermat grandit à Beaumont-de-Lomagne. Il suit des études de droit à l'université de Toulouse, et devient avocat, avant d'entrer au parlement de cette ville, s'acquittant de sa tâche d'une manière exemplaire. Dans cette époque troublée (Richelieu, Mazarin, les mousquetaires du Roy...) Colbert dit de lui dans un rapport privé « personne très érudite, a commercé dans tous les domaines avec les sages, mais de manière assez intéressée. ».

Dès 1627, il s'initie aux mathématiques et fréquente les milieux scientifiques. C'est parallèlement à son métier qu'il étudie l'arithmétique. C'est pourquoi on le surnomme le « Prince des amateurs ». Les plus grands savants de son temps échangent des lettres avec lui : Blaise Pascal, Marin Mersenne, Torricelli, Frénicle de Bessy, Roberval, Carcavi, John Wallis, Digby, Francis Bacon, René Descartes (avec qui il s'opposera dans plusieurs controverses)… Ce sont ces correspondances, dans lesquelles figurent ses fameux défis, qui le feront connaître.

C'est à partir de 1654 qu'il commence à correspondre avec Blaise Pascal, avec qui il fondera la théorie des probabilités. Au début des années 1660, une autre polémique l'oppose à Descartes au sujet de la paternité des lois de l'optique. Il meurt le 12 janvier 1665. Il est enterré le 13 janvier. Charles Perrault publiera son éloge un mois plus tard dans Le Journal des Savants.

Travaux mathématiques et scientifiques[modifier | modifier le wikicode]

Cette édition de 1670 des Arithmétiques de Diophante reprend le texte de la note que Fermat avait écrite (en latin) dans la marge au sujet de son Grand Théorème : «démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir.}}

Arithmétique[modifier | modifier le wikicode]

La contribution majeure de Fermat concerne l'arithmétique. En étudiant la résolution des équations diophantiennes¹ et les nombres premiers, il participe à fonder la théorie moderne des nombres.

On peut citer : le Petit théorème de Fermat, le théorème des nombres polygonaux, le théorème des deux carrés et surtout le célèbre Grand Théorème de Fermat² (parfois appelé Dernier théorème de Fermat). Malheureusement il ne livre pas ses démonstrations (sauf une), qu'il dit avoir trouvées et qualifie toujours d'admirables ou de merveilleuses, défiant ses correspondants de les prouver à leur tour³⁴.

Autres avancées[modifier | modifier le wikicode]

Fermat et Blaise Pascal élaborent les bases du calcul des probabilités, une mathématique du hasard, à partir du problème des partis du chevalier de Méré. Il s'agissait, dans un jeu de cartes basé sur les paris, de répartir les gains des joueurs quand la partie s'arrête avant d'être terminée.

Fermat imagina la méthode de maxima et minima pour déterminer les tangentes à une courbe. Il s'agit de faire varier la fonction définissant la courbe de façon infiniment petite. On⁵ le considère dès lors comme un précurseur du calcul infinitésimal, qui allait quelques années plus tard donner naissance à l'analyse.

En optique, Fermat énonce le principe de Fermat : la lumière se propage d'un point à un autre de manière à ce que la durée du parcours soit la plus courte possible. Ce principe lui permet de justifier la plupart des résultats de l'optique de Descartes, en particulier les lois de la réflexion (sur les miroirs) et les lois de la réfraction (dans un lentille ou à la surface de l'eau par exemple).

Œuvres[modifier | modifier le wikicode]

Fermat n'a publié qu'un seul livre, un traité de géométrie, qu'il ne signe même pas de son nom (à la fin de son épitaphe on lit ces mots : « Sache être ignoré). La signature figurant sur l'ouvrage est : M.P.E.A.S. Un militaire à la retraite pense en avoir trouvé la signification, ce pourrait être (traduit en français) : Magistrat Procureur Enquêteur Au Siège (TOULOUSE). À sa mort son œuvre (sa correspondance) est éparpillée à travers l'Europe. Certaines lettres ne seront jamais retrouvées.

En 1670, le fils de Pierre de Fermat, Samuel, publie une nouvelle édition de l'Arithmetica de Diophante, contenant la plupart de ses résultats arithmétiques, sous forme de 48 observations. D’après Samuel, ces observations, son père les aurait écrites « dans les marges » d’une édition de 1621. Cependant, certaines sont très longues et il est légitime d'émettre un doute.

En 1679, Samuel publie aussi une série d'articles et une sélection de sa correspondance sous le nom de Varia opera mathematica. (Œuvres mathématiques diverses).

Il faudra attendre le XXe siècle pour voir paraître les Œuvres Complètes de Fermat, qui nécessiteront cinq volumes.

Postérité[modifier | modifier le wikicode]

La démonstration des conjectures de Fermat occupera la recherche mathématique pendant plus de trois siècles. La plupart d'entre elles sont démontrées au XVIIIe siècle : Leonhard Euler publie la démonstration du Théorème des deux carrés en 1725 et celle du Petit théorème de Fermat en 1741, Augustin Louis Cauchy celle du Théorème des nombres polygonaux en 1813.

En 1840, toutes ses conjectures sont devenues des théorèmes, à l'exception du “Grand Théorème” (qui restait alors une conjecture). Les plus grands mathématiciens s'acharneront à la prouver : Carl Friedrich Gauss, Henri Poincaré, David Hilbert, André Weil, Jean-Pierre Serre… Il faudra attendre 1994, pour que le mathématicien britannique Andrew Wiles, après sept années d'efforts solitaires et dans le plus grand secret, parvienne après une courte période de gros doute qui mit son moral à très rude épreuve, à trouver une preuve moderne, très complexe. La première mouture, qui comportait un millier de pages, a ensuite été réduite à 150 pages. Peu de mathématiciens, surtout à l'époque, pouvaient l'appréhender dans sa totalité. Les techniques très élaborées qu'il dut mettre au point pour prouver cette ont déjà permis à ce jour des avancées considérables dans les mathématiques. La plupart des commentateurs de Fermat ont émis des doutes sur le fait que Fermat ait eu la preuve de son Grand théorème. Tandis que ses détracteurs les plus acharnés ont prétendu qu'il ne pouvait avoir prouvé sa plus célèbre conjecture à l'aide de ses propres outils, Catherine Goldstein, se montre beaucoup plus mesurée : « Quoi qu’il en soit, cette approche [d'Andrew Wiles], où le théorème de Fermat n’est qu’un corollaire très alléchant mais mineur, repose sur des techniques de représentations galoisiennes récentes. Reste possible qu’une démonstration élémentaire directe puisse être trouvée. » Catherine Goldstein, Un théorème de Fermat et ses lecteurs, p.120 (1995).

Hommages[modifier | modifier le wikicode]

Pierre de Fermat est définitivement associé à son Grand Théorème et à la quête de 324 ans pour le démontrer. On peut citer :

un épisode de la série Les Simpson, dans lequel on peut lire l'égalité suivante $1782^{12}+1841^{12}=1922^{12}$ , qui semble contredire le Grand Théorème mais qui en fait est fausse.
Le Théorème du Perroquet (1988), roman de Denis Guedj, qui raconte l'histoire des mathématiques en fiction, dont le dernier théorème de Fermat
Le Théorème de l'engambi (2001), roman de Maurice Gouiran, dans lequel la démonstration du dernier théorème entraîne une bande d'amis marseillais typiques dans des aventures pittoresque
Millenium : La Fille qui rêvait d'un bidon d'essence et d'une allumette (2005), roman policier de Stieg Larsson , dans lequel l'héroïne Lisbeth Salander dénoue le dernier théorème de Fermat en trois semaines
La Conjecture de Fermat (2006), roman historique de Jean d'Aillon, dans lequel le héros doit apporter à Blaise Pascal un imaginaire unique exemplaire de la démonstration du dernier théorème rédigée par Fermat

On peut aussi citer les hommages suivants :

un monument dans sa ville de Beaumont-de-Lomagne
l'association Fermat Science à Beaumont-de-Lomagne qui organise des manifestations éducatives
le lycée Pierre-de-Fermat à Toulouse fondé en 1806
Fermat et sa muse, buste de Théophile Barrau (1898) dans la salle des Illustres au Capitole de Toulouse
le cratère lunaire Fermat
le navire câblier de France Télécom Pierre de Fermat

Hommages à Pierre de Fermat
Le cratère Fermat sur la Lune
Plaque sur la tombe de Pierre de Fermat
Buste de Fermat dans la salle des illustres du Capitole de Toulouse
Monument à Fermat à Beaumont-de-Lomagne
Fermat et sa muse buste de Théophile Barrau

Références[modifier | modifier le wikicode]

Bibliographie[modifier | modifier le wikicode]

Le dernier théorème de Fermat, Simon Singh, éditions Pluriel, 2011
L’énigme de Fermat – trois siècles de défi mathématique, Albert Violant I Holz, 2013. Une collection présentée par Cédric Villan.
PIERRE DE FERMAT L’ÉNIGMATIQUE, Marielle Mouranche (sous la direction de), éditions midi-pyrénéennes – Université fédérale Toulouse Midi-Pyrénées, 2017.
Pierre de Fermat : un génie européen, Paul Féron, Presses de l'Université des sciences sociales de Toulouse et Éditions toulousaines de l'Ingénieur, 2002
Pierre Fermat : Sa vie privée et professionnelle, Klaus Barner, Annales de la Faculté des sciences de Toulouse, 2009
Pierre Fermat, un génie occitan, André Dupuy, Mémoire pour Demain, 2002
Fermat a-t-il démontré son grand théorème ? L'hypothèse Pascal, Laurent Hua et Jean Rousseau, éditions L'Harmattan, 2002
Eric Temple Bell, The Last Problem, éditions Simon and Schuster, 1961

Liens externes[modifier | modifier le wikicode]

Biographie sur Bibmath.net
Travaux mathématiques sur chronomath.fr
Fermat et la factorisation des entiers, étude d'une lettre de Fermat à Mersenne sur Bibnum
Biographie sur math-et-tique.fr
Site de la maison natale de Pierre de Fermat
Le dernier théorème de Fermat par H. Darmon sur le site de l'Université McGill
Fermat et les prémices d’une mathématisation du hasard de N. Meusnier sur le site de l'Université de Toulouse
Les méthodes utilisées par Fermat en théorie des nombres, article de Jean Itard sur le site Persée

Notes[modifier | modifier le wikicode]

↑ Ce sont des équations ne faisant intervenir que des nombres entiers
↑ Pour $n>2$ , il n'existe aucun nombre entier $x$ , $y$ et $z$ tels que $x^{n}+y^{n}=z^{n}$
↑ « J'ay si peu de commodité d'escrire mes démonstrations, que je me contente d'avoir découvert la vérité et de sçavoir le moyen de la prouver, lorsque j'auray le loisir de le faire.» (lettre à Mersenne)
↑ «Je ne doute pas que la chose n'eût pu se polir davantage, mais je suis le plus paresseux de tous les hommes.» (lettre à Roberval)
↑ C'est le cas de Jean Le Rond d'Alembert, Joseph-Louis Lagrange et Pierre-Simon de Laplace au siècle d'après

[1] Ce sont des équations ne faisant intervenir que des nombres entiers

[2] Pour $n>2$ , il n'existe aucun nombre entier $x$ , $y$ et $z$ tels que $x^{n}+y^{n}=z^{n}$

[3] « J'ay si peu de commodité d'escrire mes démonstrations, que je me contente d'avoir découvert la vérité et de sçavoir le moyen de la prouver, lorsque j'auray le loisir de le faire.» (lettre à Mersenne)

[4] «Je ne doute pas que la chose n'eût pu se polir davantage, mais je suis le plus paresseux de tous les hommes.» (lettre à Roberval)

[5] C'est le cas de Jean Le Rond d'Alembert, Joseph-Louis Lagrange et Pierre-Simon de Laplace au siècle d'après

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