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Partition d'un entier
Une partition d'un entier est une séquence finie d'entiers naturels dont la somme vaut l'entier donné. On ordonne la séquence d'entiers par ordre décroissant.
Par exemple, les partitions de 5 sont :
| 5 = | 1 + 1 + 1 + 1 + 1 |
| 5 = | 2 + 1 + 1 + 1 |
| 5 = | 3 + 1 + 1 |
| 5 = | 2 + 2 + 1 |
| 5 = | 3 + 2 |
| 5 = | 4 + 1 |
| 5 = | 5 |
Parties impaires et distinctes de partitions[modifier | modifier le wikicode]
Prenons par exemple les partitions de 8. Mais pas toutes, seulement celles qui ne contiennent que des chiffres impairs. Ce sont celles-là :
| 8 = | 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 |
| 8 = | 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 |
| 8 = | 3 + 3 + 1 + 1 |
| 8 = | 5 + 1 + 1 + 1 |
| 8 = | 5 + 3 |
| 8 = | 7 + 1 |
Il y en a 6. Et en comptant les partitions de 8, mais distinctes (c'est-à-dire qu'il n'y a pas deux fois où plus le même chiffre), on obtient 6 aussi :
| 8 = | 4 + 3 + 1 |
| 8 = | 5 + 2 + 1 |
| 8 = | 5 + 3 |
| 8 = | 6 + 2 |
| 8 = | 7 + 1 |
| 8 = | 8 |
Ces deux nombres sont toujours égaux.
Notation[modifier | modifier le wikicode]
- Les partitions d'un nombre sont notées . Donc . Ça se dit "p de n" ;
- Le nombres de partitions distinctes et celui des partitions impaires est noté ("q de n").
Diagramme de Ferrer[modifier | modifier le wikicode]
Un « diagramme de Ferrer » est un assemblage de boîtes. Il vérifie :
- Chaque ligne comporte moins de boîtes que la ligne précédente ;
- Les boîtes sont alignées sur la gauche.
A un diagramme de Ferrer, on associe une partition du nombre de boîtes. Il suffit de compter le nombre de boîtes par lignes. Voici deux exemples :
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 26 = 8 + 6 + 6 + 3 + 2 + 1. | 26 = 6 + 5 + 4 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1. |
Entre deux diagrammes de gauche et de droite, il y a une symétrie. Laquelle ?
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