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Parité d'un nombre entier

« Parité d'un nombre entier » expliqué aux enfants par Vikidia, l’encyclopédie junior
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Le nombre 2, peut-être le plus connu des nombres pairs

En mathématiques, étudier la parité d'un nombre entier, c'est déterminer si cet entier est ou non un multiple de deux :

  • Un nombre entier est pair lorsqu'il est divisible par 2 sans donner de reste. Par exemple, 2, 248 et 5  674 sont des entiers pairs.
  • Un nombre entier est impair sinon. Par exemple, 3, 167, 935 sont des entiers impairs.

Les premiers entiers naturels pairs sont 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...

186 est un entier pair car le quotient de 186 par 2 est 93 ; mais 153 est impair car le quotient de 153 par 2 vaut 76,5 qui n'est pas un entier.

Comment reconnaître un entier pair d'un entier impair ?[modifier | modifier le wikicode]

Pour un entier pas trop grand, il suffit d'écrire cet entier en chiffres (dans le système décimal).

  • Si le chiffre des unités (le dernier chiffre tout à droite) est 0, 2, 4, 6 ou 8, alors cet entier est pair ;
  • Si ce chiffre au contraire est 1, 3, 5, 7 ou 9, alors cet entier est impair.

Plus généralement, dans une base de numération paire, un entier est pair si et seulement si son dernier chiffre est pair. Par exemple, la base 2 (système binaire) est souvent utilisé en informatique. Le nombre 10110 écrit en base 2 est pair car son dernier chiffre est 0. En fait, il s'agit de vingt-deux (pourquoi ?).

Au contraire, dans une base de numération impaire, un entier est pair si et seulement si la somme de ses chiffres est pair. Par exemple, la base 5 (système quinquennal) a été longtemps utilisée en Australie avant l'arrivée des Européens. En base 5, le nombre 3421 est pair, car la somme de ses chiffres vaut dix. En fait, il s'agit de quatre cents quatre-vingt six (pourquoi ?).

Bien sûr, pour des très grands nombres, on ne peut pas connaître le chiffre des unités. Par exemple, sur une calculatrice, qu'obtient-on si on tape 2^100=? (on lui demande de calculer la 100e puissance de 2). Le résultat affiché dépend de sa capacité de calculs, et de son mode d'affichage. Sur une Casio, on obtient par exemple 1.2676506E+30. L'affichage est américain, le point remplace la virgule. La notation E+30 signifie « ×10^30 ». Donc, on sait que 2^10 possède 30 chiffres dans le système décimal, et que les premiers chiffres sont 1, 2, 6, 7, 0, 6, 5, 0 et après on ne sait plus. Cependant, on sait que les puissances de 2 sont des nombres pairs (voir ci-dessous).

Somme et différence[modifier | modifier le wikicode]

Il est utile de savoir que la somme de deux entiers pairs est paire :

  • pair +/- pair = pair ;
  • pair +/- impair = impair ;
  • impair +/- impair = pair.

Plus généralement, une somme ou différence de plusieurs entiers pairs est toujours paire. Une somme ou différence de plusieurs entiers impairs est :

  • paire quand le nombre d'entiers qui la compose est pair ;
  • impaire quand le nombre d'entiers de la somme est impair.

Par exemple, 1 789 645 349 + 12 886 767 453 + 3 545 703 845 est un entier impair (on peut l'affirmer sans calculer la somme !) ; en effet, c'est la somme de trois entiers impairs.

Produit[modifier | modifier le wikicode]

Le produit de deux entiers impairs est impair :

  • pair × pair = pair ;
  • pair × impair = pair ;
  • impair × impair = impair.

Plus généralement, un produit de plusieurs entiers est impair si et seulement si aucun facteur n'est pair. En particulier, un entier pair ne divise jamais un entier impair.

Attention ! Si le quotient d'un entier pair par un entier pair est un entier, cet entier peut très bien être impair. Par exemple, 12 divise 60 ; les deux entiers sont pairs mais le quotient est 5 qui est impair.

Tout entier naturel pair se décompose de manière unique en produit d'une puissance de deux et d'un entier naturel impair.

36 se décompose en 2 × 13
272 = 16 × 17 = 24 × 17

En particulier, une puissance d'un nombre pair est pair. Une puissance d'un nombre impair est impair.

Le savais-tu.png
Le savais-tu ?
Le seul nombre premier qui soit pair est 2.

  • Un entier naturel est premier s'il admet exactement deux diviseurs distints à savoir 1 et lui-même. S'il est de plus pair, alors cet entier admet 2 comme diviseur distinct de 1 ; ce diviseur lui est égal. Un entier premier pair est donc nécessairement égal à 2.
  • Réciproquement, 2 est un entier pair ; et il est premier.

Questions ouvertes[modifier | modifier le wikicode]

Il y a beaucoup de problèmes qui n'ont pas encore été résolus en arithmétique. Certains concernent des problèmes de parité :

  • La conjecture de Goldbach établit que chaque entier pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers. Par exemple, 112 est un entier pair et c'est la somme de 23 et de 89. Les calculs modernes par ordinateur ont montré que le résultat annoncé par cette conjecture est vérifié pour les entiers inférieurs à 3 × 1017, mais la démonstration générale n'a pas encore été trouvée. Personne ne sait s'il existe ou non au moins une exception...
  • Tous les nombres parfaits connus sont pairs ; nous ne savons toujours pas s'il existe un nombre parfait impair.


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