Parallélogramme

Un parallélogramme

ABCD

. Les diagonales sont en rouge. Elles se coupent en leur milieu.

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux et ont la même longueur.

Un parallélogramme est un trapèze particulier.

Corollaires

Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses angles opposés sont égaux.
Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si c’est un trapèze dont les deux côtés parallèles sont de même longueur.
Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu.
Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si deux angles consécutifs sont supplémentaires. (Supplémentaire : Somme égale à 180°)

Mesures caractéristiques

Périmètre

Le périmètre d’un parallélogramme de largeur $AB$ et de longueur $AD$ est donné par : $(AB+AD)\times 2$ .

Aire

L’aire d’un parallélogramme est obtenue par $B\times H$ , où :

$B$ est la base du parallélogramme ;
$H$ est la hauteur du parallélogramme.

Il y a une autre manière de calculer l’aire d’un parallélogramme, avec le sinus. En effet, suivant une diagonale, on peut découper le parallélogramme en deux triangles identiques. Imaginons qu’on a un parallélogramme $ABCD$ et qu’on le découpe suivant la diagonale $[BD]$ . On obtient deux triangles $ABD$ et $BCD$ quelconques. Pour calculer l’aire du parallélogramme, on calcule donc la somme de leurs aires.

A_{ABCD}=A_{ABD}+A_{BCD}=2\times A_{ABD}

(car les deux triangles ont la même aire)

A_{ABCD}=2\times ({\frac {1}{2}}\times AB\times AD\times sin{\widehat {BCD}})

(car l’aire de tout triangle

EFG

est

{\frac {1}{2}}\times EF\times EG\ sin{\widehat {E}}

)

A_{ABCD}=AB\times AD\times sin{\widehat {BCD}}