Parité d'un nombre entier

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Le nombre 2, peut-être le plus connu des nombres pairs

En mathématiques, étudier la parité d'un nombre entier, c'est déterminer si ce nombre est oui, ou non, un multiple de deux :

  • Un nombre entier est pair lorsqu'il se termine par 0, 2, 4, 6, 8 et s'il est divisible par 2 sans laisser de reste ou être décimal. Par exemple, 2, 248 et 5  674 sont des entiers pairs.
  • Sinon, c'est un nombre entier impair car il se terminera plutôt par 1, 3, 5, 7 ou 9 et ne sera pas divisible par 2, ou alors, grâce à un nombre décimal. Comme par exemple, 3, 167, 935.

Les premiers nombres entiers naturels pairs sont 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...

186 est un nombre entier pair car 186 ÷ 2 = 93 et, 186 se termine par 6 ; mais 153 est impair car 153 ÷ 2 = 76.5 et il se termine par 3.

Reconnaître un entier pair d'un entier impair[modifier | modifier le wikicode]

Pour un nombre entier court, il suffit d'écrire ce nombre entier en chiffres (dans le système décimal).

  • Si le chiffre des unités (le dernier chiffre tout à droite) est 0, 2, 4, 6 ou 8, alors cet entier est pair ;
  • Si ce chiffre au contraire est 1, 3, 5, 7 ou 9, alors cet entier est impair.

Addition[modifier | modifier le wikicode]

Quand on additionne...

  • ...deux nombres pairs, le résultat sera un nombre pair
  • ...deux nombres impairs, le résultat sera aussi et toujours un nombre pair
  • ...un nombre pair et un nombre impair, le résultat sera un nombre impair

Quand on additionne trois nombres (ou plus), cela dépendra du nombre de nombres impairs dans l'addition :

  • s'il y a un nombre pair de nombre impair (2, 4, 6, 8... nombres impairs), le résultat sera un nombre pair
  • si au contraire il y a un nombre impair (1, 3, 5, 7... nombres impairs), le résultat sera un nombre impair

Multiplication[modifier | modifier le wikicode]

Une règle simple : il suffit d'un seul nombre pair dans une multiplication pour que le résultat soit un nombre pair. Si on ne multiplie que des nombres impairs, le résultat sera un nombre impair.

Questions ouvertes[modifier | modifier le wikicode]

Il y a beaucoup de problèmes qui n'ont pas encore été résolus en arithmétique. Certains concernent des problèmes de parité :

  • La conjecture de Goldbach établit que chaque entier pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers. Par exemple, 112 est un entier pair et c'est la somme de 23 et de 89. Les calculs modernes par ordinateur ont montré que le résultat annoncé par cette conjecture est vérifié pour les entiers inférieurs à 3 × 1017, mais la démonstration générale n'a pas encore été trouvée. Personne ne sait s'il existe ou non au moins une exception...
  • Tous les nombres parfaits connus sont pairs ; nous ne savons toujours pas s'il existe un nombre parfait impair.
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