Nombre uniforme

Tout entier naturel s'écrit de manière unique comme une séquence finie de chiffres. Un nombre uniforme est un entier qui ne s'écrit qu'avec un seul chiffre ! Par exemple : 2 ; 333 ; 7 777 et 555 555 sont des nombres uniformes.

Avec le seul chiffre 0, on ne peut former que 0 ; et par convention, on suppose que ce n'est pas un nombre uniforme. Les premiers entiers non nuls (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 et 9) sont des nombres uniformes. 10 n'est pas un nombre uniforme. Les nombres uniformes sont des curiosités en arithmétique.

Factorisation

« Factoriser un entier », c'est l'exprimer comme produit d'entiers strictement plus petits. Un nombre premier est un entier dont les seuls diviseurs sont 1 et lui-même. Ce sont des « briques élémentaires » des entiers. Chaque entier s'écrit comme un produit de nombres premiers : c'est sa factorisation.

Voilà comment commence la factorisation des nombres uniformes à 8 chiffres :

11  111  111  =	1  ×	11  111  111
22  222  222  =	2  ×	11  111  111
33  333  333  =	3  ×	11  111  111
44  444  444  =	2  ×  2  ×	11  111  111
55  555  555  =	5  ×	11  111  111
66  666  666  =	2  ×  3  ×	11  111  111
77  777  777  =	7  ×	11  111  111
88  888  888  =	2  ×  2  ×  2  ×	11  111  111
99  999  999  =	3  ×  3  ×	11  111  111

On voit donc que, si on sait factoriser les nombres uniformes qui ne s'écrivent avec que des 1, alors on sait factoriser tous les nombres uniformes.

Division euclidienne par 9

On effectue la division euclidienne des nombres uniformes par 9.

1  =	9  ×  0	+  1
11  =	9  ×  1	+  2
111  =	9  ×  12	+  3
1  111  =	9  x  123	+  4
11  111  =	9  ×  123  4	+  5
111  111  =	9  ×  123  45	+  6
1  111  111  =	9  ×  123  456	+  7
11  111  111  =	9  ×  123  456  7	+  8
111  111  111  =	9  ×  123  456  79	+  0
1  111  111  111  =	9  ×  123  456  790	+  1
11  111  111  111  =	9  ×  123  456  790  1	+  2
111  111  111  111  =	9  ×  123  456  790  12	+  3
1  111  111  111  111  =	9  x  123  456  790  123	+  4
11  111  111  111  111  =	9  ×  123  456  790  123  4	+  5
111  111  111  111  111  =	9  ×  123  456  790  123  45	+  6
etc ...		etc ...

On constate :

• Le reste de la division d'un nombre uniforme par 9 est le reste de la division du nombre de chiffres par 9.
• Plus étonnant, les chiffres du quotient, suivis du reste, sont les premiers termes de la suite périodique :

0  1  2  3  4  5  6  7  9  0  1  2  3  4  5  6  7  9  0  1  2  3  4  5  6  7  9 ...

Attention ! on évite intelligemment le 8 (très méchant chiffre). C'est une suite infinie de chiffres, périodique de période de longueur 9.

Explication : Le problème est intéressant car on peut fournir différentes explications.

Pourquoi les restes sont-ils les mêmes ?

On considère un nombre uniforme qui ne s'écrit avec que des 1. On suppose qu'il possède au moins 3 chiffres. Si on lui soustrait un nombre à un chiffre, on modifie ses deux derniers chiffres :

...  111  -	1	2	3	4	5	6	7	8	0
=	...  110	...  109	...  108	...  107	...  106	...  105	...  104	...  103	...  111
Somme des chiffres = Nombre de chiffres  +	9 (-10)	7	6	5	4	3	2	1	0

Si on effectue la division (euclidienne) du nombre de chiffres par 9, on obtient un reste. Si on soustrait ce reste au nombre uniforme, on obtient un nouvel entier. J'affirme que cet entier est divisible par 9. Pourquoi ? D'après le tableau ci-dessus, la somme de ses chiffres vaut le nombre de chiffres plus 9 moins le reste. Cette somme est divisible par 9. On applique le critère de divisibilité par 9.

Détermination de proche en proche de la division

On peut déterminer les nombres uniformes de proche en proche en multipliant par 10 et en ajoutant 1. On peut donc espérer déterminer de proche en proche le quotient et le reste de la division par 9. Cependant, le reste fois 10 plus 1 ne va pas donner un entier inférieur à 9.

Restes possibles :		0	1	2	3	4	5	6	7	8
×  10 )   +  1		1	11	21	31	41	51	61	71	81
Division euclidienne par 9	Quotient	0	1	2	3	4	5	6	7	9
	Reste	1	2	3	4	5	6	7	8	1

On voit que, au niveau des restes, un décalage vers la gauche apparait. Ça explique la périodicité observée. (...)

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Article mis en lumière la semaine du 11 mai 2009.