Méthode des compléments
| Méthodes par retenues : |
| Méthodes sans retenues : |
En arithmétique, la méthode des compléments est une méthode qui permet de calculer une soustraction. Elle consiste à remplacer la soustraction par une addition, et c'est la raison pour laquelle elle est efficace.
Complément[modifier | modifier le wikicode]
Un entier naturel s'écrit comme une séquence finie de chiffres. Un entier unaire est un entier dont l'écriture ne comporte qu'un seul chiffre répété plusieurs fois : 33, 666, 9 999, ou 22 222 222 sont des exemples de nombres unaires. Les nombres unaires n'ont pas vraiment de propriétés intéressantes, mais ils se comportent bien par rapport aux opérations (addition, soustraction, multiplication et division).
On commence par définir la notion de chiffre complément :
| Chiffre : | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Chiffre complément: | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
Le complément d'une séquence finie de chiffres est la séquence obtenue en remplaçant chaque chiffre par son complément.
- Par exemple, le complément de 2 6 8 7 3 5 6 9 est 7 3 1 2 6 4 3 0 ;
- Le complément de 9 9 9 0 4 6 7 2 4 9 est 0 0 0 9 5 3 2 7 5 0.
La séquence de chiffres qui correspond à un entier naturel ne commence jamais par 0 (plus exactement les premiers 0 s'éliminent). Le complément d'un entier s'obtient en remplaçant chacun de ces chiffres par son complément et en éliminant les premiers 0.
- Par exemple, le complément de 3 783 902 est 6 216 097 ;
- Le complément de 9 99 0467 249 est 953 250.
Le complément d'un entier est le plus petit entier que je dois ajouter pour obtenir un nombre unaire avec que des 9.
- Explication : Si je remplace tous les chiffres d'un entier par leurs chiffres compléments, j'obtiens un nouvel entier. J'appelle « l'entier A » l'entier duquel je suis parti, et « l'entier B » l'entier que j'ai ainsi obtenu. Je veux montrer que l'entier B est le complément de l'entier A.
- Quand je lis le tableau, je constate que la somme d'un chiffre et de son chiffre complément vaut toujours 9. Par conséquent, si je calcule la somme de l'entier A et de l'entier B, je n'ai aucune retenue à faire. J'obtiens un nombre unaire avec que des 9 : c'est « l'entier A+B ». Le nombre A+B peut être obtenu en remplaçant chaque chiffre de A par un 9. Par conséquent, les entiers A et A+B ont le même nombre de chiffres.
Méthode[modifier | modifier le wikicode]
On suit les trois étapes suivantes :
- On remplace l'entier soustrait par son complément ;
- On lui ajoute l'entier par lequel on soustrait ;
- On prend le « complément de la somme » (ou presque...).
Plus exactement, le complément de la séquence de chiffres correspondante, si nécessaire augmentée de plusieurs 0. Il faut que la séquence comporte autant de chiffres que le nombre initial. On peut dans un premier temps mettre cette précision entre parenthèses (on va y revenir).
Pour calculer la somme, on peut utiliser différentes méthodes. L'intérêt de la méthode des compléments est de se ramener à une addition.).
Exemple[modifier | modifier le wikicode]
23 458 - 16 789 = ?
- Le complément de 23 458 est 76 541 ;
- La somme de 76 541 et 16 789 vaut 93 330 ;
- Le complément de 93 330 est 6 669.
993 259 - 3 761 = ?
- Le complément de 993 259 est 6 740 ;
- La somme de 6 740 et de 3 761 vaut 10 501 ;
- Le complément de 10 501 est 89 498.
La différence vaut en réalité 989 498. Où est le problème ? 10 501 comporte seulement 5 chiffres et 993 259 en a 6. Il faut donc regarder 10 501 comme la séquence 0 1 0 5 0 1, dont le complément vaut 9 8 9 4 9 8, ce qui donne 989 498.
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