Lemme des bergers

En mathématiques, le lemme des bergers est un résultat qui permet de mieux compter des objets. C'est donc un résultat de combinatoire. Il est facile à formuler.

Imaginons qu'on a placé des objets dans différents sacs, et le même nombre d'objets dans chaque sac. Alors le lemme des bergers affirme :

Le nombre total d'objets est la multiplication du nombre de sacs par le nombre d'objets par sac.

Explication

On va expliquer sur un exemple : on a 4 sacs de 7 objets, combien y-a-t-il d'objets ? L'explication va rester valable si on remplace 4 et 7 par n'importe quels entiers naturels.

Distribution

Imaginons que les objets sont des billes. J'ai donc 4 sacs de 7 billes.

• Si je vide le premier sac, je mets par terre 7 billes.
• Si je vide le deuxième sac, j'ajoute 7 billes : il y a donc par terre 7  +  7 billes.
• Si je vide le troisième, j'obtiens 7  +  7  +  7 billes.
• Enfin, en vidant le quatrième et dernier sac, je trouve 7  +  7  +  7  +  7 billes.

Le nombre total de billes était donc :

7  +  7  +  7  +  7  =  7  ×  (  1  +  1  +  1  +  1  )  =  7  ×  4.

On a factorisé par 7.

Deuxième explication

	4
7

On peut imaginer que les objets sont des boîtes, et les sacs sont... des colonnes de boîtes. Si les boîtes sont alignées selon des lignes et des colonnes, le nombre de boîtes dans une colonne vaut le nombre de ligne. On se ramène alors à la définition de la multiplication. Le nombre total de boîtes est donc la multiplication du nombre de colonnes (sacs) par le nombre de lignes (objets par sac).

Pourquoi un berger ?

Un mouton en boîte

Un berger garde un troupeau de moutons. Il souhaite compter le nombre de moutons. Pour cela il compte 92 pattes. Combien y-a-t-il de moutons ?

Chaque mouton possède 4 pattes. Un mouton peut être vu comme une boîte avec quatre pattes à l'intérieur. Le produit de 4 par le nombre de moutons vaut 92. On trouve donc 23 moutons.

Voir aussi

Multiplication
Multiplication par :	Différentes méthodes : Multiplication longue - Multiplication par glissement - Multiplication par jalousie - Algorithme de Karatsuba - Multiplication russe
2 - 3 - 5 - 9
10 - 11 - 12 - 13
Table de multiplication - Produit - Aire - Lemme des bergers
Voir aussi : Addition  -  Soustraction  -  Division

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