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Injection (mathématiques)
Une injection est une application qui envoie deux éléments distincts quelconques sur deux images distinctes. On parle aussi d'application injective.
Une application f d'un ensemble E vers un ensemble F est injective lorsque deux éléments quelconques de E ayant même image, sont égaux. Autrement dit f:E→F est injective lorsque, pour tous x et y de E tels que f(x)=f(y), on a x=y.
Par exemple, en cours de géographie, on demande de connaître les capitales des différents pays d'Europe. On peut décrire une application de l'ensemble des pays du monde dans l'ensemble des villes, qui à chaque pays associe sa capitale. C'est une injection : une ville ne peut pas être la capitale de deux pays différents !
Composition[modifier | modifier le wikicode]
- La composée de deux applications injectives est injective.
- : Supposons que f est une application injective de E dans F, et que g est une application injective de F dans G.
- : Si x et y sont deux éléments de E tels que g[f(x)]=g[f(y)], alors, comme g est injective, il vient : f(x)=f(y) ; puis, comme f est injective, on obtient : x=y.
- : Par conséquent, g o f est injective.
- Si g o f est injective, alors f est injective.
- : Soient x et y deux éléments de l'ensemble de définition E de f tels que f(x)=f(y). De fait, on obtient : g[f(x)]=g[f(y)]. Comme g o f est injective, on a : x=y.
Théorème de Cantor-Bernstein[modifier | modifier le wikicode]
Le théorème de Cantor-Bernstein permet de comparer la taille de différents ensembles :
- S'il existe une injection de l'ensemble A dans l'ensemble B, et s'il existe une injection de l'ensemble B dans l'ensemble A, alors il existe une bijection de A sur B.
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