Inégalité de Taylor-Lagrange

L'inégalité de Taylor-Lagrange est un théorème mathématique en analyse.

Énoncé du théorème

• Soit $n$ un entier naturel
• Soit $f$ une fonction de classe $C^{n+1}$ sur un intervalle $I$
• Il existe $M$ tel que $\forall {x}\in I,\quad |f^{(n+1)}(x)|\leq M$

$\forall (a,b)\in I^{2},\quad |f(b)-f(a)-\sum _{k=1}^{n}{\frac {(b-a)^{k}}{k!}}f^{(k)}(a)|\leq M{\frac {|b-a|^{n+1}}{(n+1)!}}$

On dit alors que l'on applique l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $n$ pour le couple $(a,b)$ (ou entre $a$ et $b$) à la fonction $f$.

Cas particuliers

• Dans le cas $n=0$, on se retrouve dans le cas de l'inégalité des accroissements finis.

Utilisation

L'inégalité de Taylor-Lagrange permet de prouver la continuité de fonctions, majorer des intégrales, et en particulier de trouver l'expression de la dérivée d'intégrales impropres.

Il permet aussi de trouver des résultats classiques en analyse, par exemple $\forall \delta \in \mathbb {R} ,\quad |\sin(\delta )|\leq |\delta |$

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