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Géométrie non euclidienne

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De gauche à droite : géométries euclidienne, sphérique et hyperbolique

Une géométrie non-euclidienne est une géométrie qui ne respecte pas un des postulats exposés dans l'ouvrage nommé Éléments d'Euclide ; à savoir, le postulat des parallèles, qui est : "Par un point donné, on peut mener une et une seule parallèle à une droite donnée".

Ainsi, par exemple, une droite n'est pas toujours le plus court chemin pour se rendre d'un point à un autre en géométrie non-euclidienne.

Trois droites dans le disque de Poincaré, modèle de géométrie non-euclidienne ; la droite verte est ne croise ni la droite rouge, ni la droite bleue, elle est donc parallèle à ces deux droites, qui sont pourtant sécantes


Géométrie sphérique[modifier | modifier le wikicode]

Dans une géométrie sphérique, aussi appelée elliptique, le chemin le plus court pour relier deux points est une courbe : c'est donc une géométrie non-euclidienne (C'est comme à la surface d'une planète : si tu parcourais une droite, tu rentrerais dans le sol, alors qu'avec une courbe, tu restes dans l'« espace géométrique » sphérique.). Dans les géométries « en selle de cheval » (elles ont la forme ... d'une selle de cheval), la distance la plus courte entre deux points est aussi décrite par une courbe.

Dans la géométrie sphérique, la somme des angles d'un triangle est toujours supérieure à 180° ; elle est toujours égale à 180° pour une géométrie euclidienne ; et toujours inférieure à 180° dans le cas d'une géométrie en selle de cheval, aussi appelée hyperbolique.

Dans la géométrie sphérique, l'espace est considéré comme sphérique. C'est la forme sphérique terrienne qui explique cela. Vu que l'espace est (dans la géométrie sphérique et pour les hommes) juste la terre, alors nous considérons que l'espace (terre) est donc sphérique.

Géométrie hyperbolique[modifier | modifier le wikicode]

Pavage du demi-plan de Poincaré avec des heptagones réguliers

La géométrie hyperbolique est une géométrie non-euclidienne dans laquelle pour une droite et un point donnés, une infinité de droite passent par ce point et sont parallèles à la droite initiale. Explorée notamment par Nikolaï Lobatchevski, János Bolyai, Carl Friedrich Gauss, et Eugenio Beltrami, elle prend son essor avec les mathématiciens Henri Poincaré et Felix Klein entre la fin du XIXème siècle et le début du XXème siècle.

La géométrie hyperbolique permet de réaliser des pavages avec des polygones réguliers impossibles en géométrie euclidienne ; on peut par exemple paver le plan hyperbolique avec des pentagones à angles droits.

Plusieurs représentations du plan hyperbolique existent : on peut citer le demi-plan et le disque de Poincaré, qui permettent de comprendre comment évolue un objet d'une taille donnée lorsqu'on le déplace dans le plan.

Demi-plan de Poincaré[modifier | modifier le wikicode]

Le demi-plan de Poincaré est composé de tous les points qui ont une ordonnée strictement positive. Dans ce modèle, les géodésiques sont les demi-droites verticales et les demi-cercles ayant leur centre sur l'axe des abscisses.

Pavage du disque de Poincaré avec des pentagones réguliers à angles droits

Disque de Poincaré[modifier | modifier le wikicode]

Le disque de Poincaré est un disque de rayon 1, dans lequel les géodésiques sont les arcs de cercle coupant le disque à angle droit.


La géométrie hyperbolique a des applications dans le domaine du chaos, ainsi qu'en cosmologie. Enfin, elle a inspiré plusieurs artistes comme Maurits Cornelis Escher.

Sources et liens externes[modifier | modifier le wikicode]

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