Formule de Taylor avec reste intégral

La formule de Taylor avec reste intégral est une formule mathématique très utilisée en analyse.

Énoncé du théorème

• Soit $n$ un entier naturel
• Soit $f$ une fonction de classe $C^{n+1}$ sur un intervalle $I$

$\forall (a,b)\in I^{2},\quad f(b)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(b-a)^{k}}{k!}}f^{(k)}(a)+\int _{a}^{b}{\frac {(b-t)^{n}}{n!}}f^{(n+1)}(t)\,\mathrm {d} t$

Utilisation

La formule de Taylor avec reste intégral est l'une des trois formules de Taylor régulièrement utilisées, avec la formule de Taylor-Young et la formule de Taylor-Lagrange.

Elle permet notamment d'encadrer des fonctions, et de calculer des sommes de séries par encadrement.

On peut la généraliser aux fonctions de plusieurs variables en l'appliquant sur des segments d'ouverts, mais la formule est plus complexe et moins utilisée.

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