Fonction dérivée

Avant de lire cet article, il est conseillé de connaître les fonctions !

Nombres

• Entiers
• Relatifs
• Décimaux
• Premiers
• Rationnels
• Irrationnels
• Réels
• Complexes

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• Nombre π
• Nombre d’or

En mathématiques, la dérivée est un outil très puissant qui est associé à une fonction. Il permet de résoudre des centaines de problèmes dans tous les domaines scientifiques, que ce soit la physique, la chimie, la biologie, etc.

Historique

La dérivation fait partie, avec l'intégration, du calcul infinitésimal.

Ce dernier fut créé au XVII^e siècle mais on ne sait pas bien qui est son créateur : Gottfried Wilhelm Leibniz et Isaac Newton ont eu des idées semblables à la même époque.

Principe

Pour commencer

L'exemple le plus simple d'utilisation de la dérivée est le cas de la fonction affine :

Soit une fonction affine : $f(x)=a+bx$. On se place dans un repère orthonormé.

Cette fonction définit une droite dans le plan. On remarque que, lorsque l'on suit la droite horizontale du repère (appelée axe des abscisses) et que l'on se déplace d’un « pas » (une unité) vers la droite, on va monter de $b$ « pas » ($b$ unités) sur la verticale (appelée axe des ordonnées).

Ceci est vrai pour tous les points de la droite. On « augmente » partout de la même manière. Cette augmentation, c'est ce qu'on appelle la croissance de la fonction. L'étude de la croissance des fonctions est l’intérêt principal de la dérivation.

Donc, notre fonction affine évolue toujours de la même manière (on avance de 1 en abscisse, on monte de $b$ en ordonnée) ; on dit que le nombre dérivé de la fonction $f$ est $b$ (pour chaque point de $f$). Justement, $b$ est appelé pente de $f$.

Le nombre dérivé est un nombre, mais la dérivée est une fonction. On la note souvent $f'$. Dans le cas de notre fonction affine, on a $f'(x)=b$.

Cas général

Toutes les fonctions ne sont pas des fonctions affines, donc elles n'ont pas toutes une croissance pareille en tout point. C'est pour cela que la dérivée est une fonction. Si on a une fonction $f$ quelconque, $f'(x)$ nous donne la croissance de la fonction $f$ au point d’abscisse $x$.

Dans le cas d’une fonction affine, on dit que la dérivée est constante puisqu'elle croît toujours de la même manière (elle est toujours égale à $b$).

Dans le cas d’une fonction constante, la dérivée vaut zéro (est nulle), ce qui s'écrit : $f'(x)=0$, car une fonction constante se représente par une droite horizontale, donc elle ne « monte » ni ne « descend ».

Plus généralement, il existe plein de formules et de méthodes qui permettent de calculer la fonction dérivée d'une fonction.

On ne peut pas toujours connaître la dérivée d'une fonction, car certaines fonctions ne sont pas assez « lisses ». Dans ce cas, on dit que la fonction n'est pas dérivable.

Remarques

Une fonction dérivable (c'est-à-dire dont la dérivée existe) n'a qu’une seule dérivée : on dit que la dérivée est unique.

En revanche, deux fonctions différentes peuvent avoir la même dérivée :

soit $f(x)=2+3x$ et $g(x)=23+3x$ ;

on a la dérivée de $f$, $f'(x)=3$, et la dérivée de $g$, $g'(x)=3$,

d'où $g'(x)=f'(x)$ alors que $f(x)\neq g(x)$.

Plus la dérivée a de grandes valeurs, plus la courbe  est « inclinée ».

La dérivation est l'opération inverse de l'intégration.

Application

Exemple avec la physique

L'application la plus parlante de la dérivation se trouve dans le monde de la physique.

Supposons qu'une personne marche à une vitesse de 4 km/h : à chaque fois qu'il se passe une heure, la personne avance de 4 km.

On peut donc établir une fonction qui, selon le nombre d'heures passées, nous donne la distance que la personne a parcourue : $f(x)=4x$ (ici, $x$ représente le nombre d'heures). C'est une fonction affine qu'on sait très bien dériver : $f'(x)=4$. On remarque qu'on retrouve la vitesse de la personne !

Donc, lorsqu'on a une fonction qui nous donne une distance parcourue par quelqu'un, la dérivée nous donne la vitesse de cette personne.

Remarque

Ceci est l'application la plus simple de la dérivée ; en faisant des calculs plus poussés ou en prenant des fonctions plus complexes, on peut obtenir des résultats encore plus intéressants.

Pour reprendre notre exemple, si on dérive la vitesse, c'est-à-dire la dérivée elle-même (puisque la dérivée est une fonction, on peut dériver la dérivée), on obtient l'accélération.

Les sens de variation

Une autre utilité de la dérivée est la détermination du sens de variation.

Comme on l'a expliqué, lorsqu'une fonction « monte » quand on va vers la droite (sur les abscisses), on dit qu'elle croît (ou qu'elle est croissante). De même, lorsqu'une fonction « descend » lorsqu'on va vers la droite (sur les abscisses), on dit qu'elle décroît (ou qu'elle est décroissante). C'est ce qu'on appelle le sens de variation.

On peut déterminer le sens de variation directement avec la dérivée en suivant ces trois règles :

• si $f'(x)$ est négative, alors $f$ est décroissante autour de $x$ ;
• si $f'(x)$ est positive, alors $f$ est croissante autour de $x$ ;
• si $f'(x)=0$, alors $f$ est « plate » autour de $x$, cela veut dire que $f$ a une tangente horizontale en $x$.

Ici, $x$ est fixé : il décrit un point précis.

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