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Fonction
Une fonction est un objet des mathématiques, au même titre que les nombres, les ensembles ou les vecteurs.
Chaque objet mathématique a sa particularité : par exemple, les ensembles sont comme de gros réservoirs contenant les autres objets ; les vecteurs sont des sortes de mouvements ; et les fonctions ? Ce sont les objets qui transforment d'autres objets.
On se propose de voir les fonctions comme de petites usines : elles transforment de la matière première en produit fini ! Dans ce cas, la « matière première » est les objets contenus dans l'ensemble dit de départ de la fonction (c'est l'ensemble de tous les objets qu'elle peut transformer). Le « produit fini », c'est l'objet de départ transformé par la fonction ; l'ensemble de tous les objets de départ transformés constitue l'ensemble d'arrivée de la fonction.
Définition mathématique
En mathématiques, une fonction est une application qui « part » d'un ensemble d'objets1 et « va dans » lui-même ou un autre ensemble. Elle associe à chaque objet de l'ensemble d'arrivée2 un (ou plusieurs) objets de l'ensemble de départ3. La notation f(x) symbolise donc clairement l'objet d'origine x « transformé » par f pour former le nouvel objet f(x). La branche des mathématiques qui étudie les fonctions s'appelle l'analyse.
Exemple théorique : qu'est-ce qu'une fonction ?
Prenons la fonction F représentée (schématiquement) à droite. Elle associe à chacune des six premières lettres de l'alphabet latin un unique caractère grec : par exemple, F (b) = α. Bien sûr, les caractères latins et grecs ne sont pas de objets mathématiques, et les fonctions travaillent le plus souvent sur des nombres ; mais c'est un exemple pour comprendre.
- L'ensemble de départ de F est donc {a, b, c, d, e, f}, et son ensemble d'arrivée est {α, γ, ε, θ, ρ}.
- F (b) = α. Ici, α est appelé image de b par F, et b est appelé antécédent de α par F.
- On observe qu'il y a plus d'éléments dans l'ensemble de départ que dans l'ensemble d'arrivée : ce n'est pas un problème.
- d'où règle : une fonction peut associer à plusieurs objets la même image ; mais jamais plusieurs images au même objet !
- : Ainsi, F (d) = F (f) = ε, de même qu'avec la fonction carré on a 32 = (-3)2 = 9. En revanche, on ne peut pas avoir F(x) = φ = σ (quand φ ≠ σ) : cela reviendrait à écrire quelque chose comme 32 = 9 = 13, ce qui est absurde !
- On peut aussi effectuer des opérations sur les fonctions, comme sur les nombres : somme, différence, multiplication, passage à l'inverse, division et composition sont les plus courantes (on en détaillera juste après). Il existe également deux autres opérations fondamentales sur les fonctions : la dérivation et la primitivation.
- : Soit une fonction H, du même type que notre fonction F.
- Somme : (F+H)(b) = F (b) + H (b) (= α + H (b), car F (b) = α) ; la différence fonctionne de la même manière.
- Composition : (FoH)(b) = F (H (b)). Ici, la fonction H transforme b (en H (b)) et envoie le résultat directement à F, qui transforme à son tour H (b) en F (H (b)).
- :Attention ! si (F+H)(b) = (H+F)(b) (cela tient aux propriétés de l'addition), (FoH)(b) n'est pas forcément égal à (HoF)(b) ! En effet, (FoH)(b) = F (H (b)), mais (HoF)(b) = H (F (b)) = H (α).
Exemples pratiques
- La pression atmosphérique est fonction de l'altitude.
- La tension est fonction de l'intensité et de la résistance (voir loi d'Ohm).
- Le poids est fonction de la masse (voir loi de Newton).
- Le temps d'attente est fonction de la longueur de la file d'attente, ...
En pratique
On définit par exemple . Pour calculer la valeur de , on effectue le calcul en remplaçant la variable par 3:
Ceci est vrai pour n'importe quelle fonction ! C'est aussi la raison pour laquelle est parfois appelé paramètre : le résultat de dépend de la valeur que l'on donne à .
Exemples algébriques
- Une fonction constante est de la forme , avec une constante (c'est-à-dire un nombre qui ne varie pas). est la fonction constante qui transforme tout x en le nombre 3.
- Une fonction affine est de la forme , avec a et b des constantes.
- Une fonction puissance est de la forme , où a est une constante.
- Une fonction polynômiale est de la forme , où est le n-ième coefficient de la fonction (chaque a étant une constante).
Fonctions remarquables
- Fonction trigonométrique
- Fonction réciproque
- Fonction inverse
- Fonction exponentielle
- Fonction logarithme
Injection, surjection, bijection
Injection
- Vikidia possède un article Injection !
Une fonction est dite injective si elle associe à chacune de ses images au plus un antécédent. Visuellement, l'ensemble d'arrivée d'une telle fonction est de « taille » égale ou supérieure à celle de l'ensemble de départ : il se peut que certains éléments n'aient pas d'antécédent par la fonction.
La définition mathématique de l'injectivité est « quels que soient x et y appartenant à l'ensemble de départ E, si f(x) égale f (y) implique que x égale y, alors f est injective ». Cela s'écrit .
Surjection
- Vikidia possède aussi un article Surjection !
Une fonction est dite surjective si elle associe à toute image au moins un antécédent. Par exemple, la fonction utilisée dans notre exemple est surjective, parce que chacune de ses images a au moins un antécédent (elles en ont toutes un, sauf γ qui en a deux).
Si E est l'ensemble de départ et F l'ensemble d'arrivée de la fonction f, la définition mathématique de la surjection s'écrit , ce qui se lit simplement « si (et seulement si), pour toute image y, il existe (au moins) un élément x tel que x est l'antécédent de y par f, alors f est surjective ».
Bijection
- Vikidia possède enfin un article Bijection !
Une fonction est qui à la fois injective et surjective est dite bijective. Dans le cadre d'une fonction bijective, chaque antécédent est donc associé à une unique image, et chaque image n'a qu'un antécédent. Par exemple, les fonctions affines (comme ) sont toutes bijectives4, parce qu'à partir de n'importe quelle image, on peut retrouver un (et un seul) antécédent.
Remarques
- f(x) se lit « F de X ».
- Une fonction peut se calculer à partir de plusieurs variables, on note alors f (x, y) ou f (x1, x2, ... xn-1, xn).
- voir aussi Dérivée de fonctions
Références
- ↑ Dans la plupart des fonctions étudiées, ces objets sont des nombres ; mais on peut former des fonctions manipulant des ensembles, ou d'autres objets mathématiques.
- ↑ On note généralement cet objet f(x).
- ↑ Alors noté x. Mais la lettre n'a pas d'importance particulière, il faut la voir comme un nom : on peut créer une fonction g qui transforme t en g (t).
- ↑ Hormis, bien sûr, les fonctions constantes, qui ne sont ni injectives, ni surjectives (puisqu'elles associent une seule image à tous leurs antécédents).
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