Ellipse

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Une ellipse ressemble à un cercle qui a été étiré. Les planètes tournent autour d'une étoile en décrivant une ellipse. C'est l'une des raisons pour lesquelles les ellipses sont importantes (mais ce n'est pas la seule !). Si les cercles sont des cas particuliers d'ellipses, une ellipse en général présente moins de symétrie.

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Construction d'une ellipse

Une ellipse est déterminée par une longueur d et par deux points F et F', qu'on appelle les foyers de l'ellipse. L'ellipse s'obtient en prenant tous les points dont la somme des distances aux foyers F et F' vaut d. On imagine donc une corde de longueur d attachée à deux piquets, la corde est tendue, et on voit quelle trajectoire elle décrit.

L'excentricité de l'ellipse est le rapport de la distance de F à F' par d. Elle est positive et strictement inférieure à 1. Si les foyers F et F' sont confondus, alors l'ellipse est un cercle de centre F et de diamètre d. Les cercles sont les ellipses d'excentricité 0.

Plus généralement, la longueur d va s'interpréter comme une sorte de diamètre de l'ellipse.

Centre de symétrie[modifier | modifier le wikicode]

On note O le milieu du segment [FF']. C'est un centre de symétrie de l'ellipse.

En effet, comme O est le milieu de [FF'], le point F' est l'image de F par rapport à O. Si M est un point de l'ellipse, alors MF+MF'=d par définition. On note M' le symétrique de M par rapport à O. Les droites (MF) et (M'F') sont symétriques par rapport à O, donc parallèles. Pour la même raison, les droites (MF') et (M'F) sont parallèles. De fait, le quadrilatère MFM'F' est un parallélogramme (côtés opposés parallèles). Les côtés opposés d'un parallélogramme ont même longueur : MF = M'F' et MF' = M'F. Il s'en suit : M'F + M'F' = MF' + MF = d. Le symétrique M' de M par rapport à O appartient à l'ellipse.

Grand et petit axes[modifier | modifier le wikicode]

La droite (FF') est un axe de symétrie de l'ellipse. Cet axe intersecte l'ellipse en deux points A et A', qui sont symétriques par rapport à O. Le segment [AA'] est le grand axe de l'ellipse. La distance d s'interprète comme la longueur AA'.

En effet, d'une part AA'=AF+FA', d'autre part AA'=AF'+F'A'. En additionnant, on obtient : 2AA' = (AF+AF') + (FA'+F'A') = d + d.

La médiatrice du segment [FF'] intersecte l'ellipse en deux points B et B', symétriques par rapport à O. Le segment [BB'] est appelé le petit axe de l'ellipse. Sa longueur est toujours plus petite que d. La droite (BB') est aussi un axe de symétrie de l'ellipse.

Le triangle FBF' est isocèle en B, car B appartient à la médiatrice du segment [FF']. Par conséquent, FB vaut la moitié de d.

Comme les segments [AA'] et [BB'] s'intersectent orthogonalement en leurs milieux, le quadrilatère ABA'B' est un losange. C'est un carré uniquement lorsque l'ellipse est un cercle.

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