Fonction dérivée

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En noir la courbe d'une fonction et en rouge la tangente à cette fonction au point rouge.

La dérivée d'une fonction en un point est donnée par la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point. Sur le schéma ci-contre, la pente de la droite rouge.

La tangente ne peut pas être tracée si la courbe représentative n'est pas « lisse », s'il y des trous ou des angles. Dans ce cas la dérivée n'existe pas.

Trouver la fonction dérivée d'une fonction , permet de résoudre des problèmes scientifiques, en physique, chimie, biologie, etc.

AttentionLa dérivée est une fonction. Le nombre dérivé, la pente de la tangente en un point, correspond à la valeur de la fonction dérivée en ce point.

Les mathématiciens note souvent la dérivée . Les physiciens plus souvent .

Historique[modifier | modifier le wikicode]

La dérivation fait partie, avec l'intégration, du calcul infinitésimal créé au XVIIe siècle à la même époque séparément par Gottfried Wilhelm Leibniz et Isaac Newton. (La dérivation est l'opération inverse de l'intégration).

Principe[modifier | modifier le wikicode]

Cas simple[modifier | modifier le wikicode]

Pour une fonction affine, , la courbe représentative est une droite (dans un repère orthonormé du plan). En tout point de cette droite la tangente sera cette droite même. La pente de cette droite est donnée par .
En effet, si d'un point quelconque de cette droite on se déplace d’une unité vers la droite (à l'horizontale, selon l'axe des abscisses), il faudra monter (ou descendre, selon son signe) de pour se retrouver sur la droite.
La dérivée d'une fonction affine est donc constante : en tout , .
Autre manière de dire la même chose, en parcourant la courbe selon les valeurs croissantes de , la croissance de la fonction est constante.
Pour une fonction constante, , la dérivée est nulle, en tout  : La droite représentative est horizontale, elle ne « monte » ni ne « descend ».

Cas général[modifier | modifier le wikicode]

Pour une fonction quelconque dont la courbe représentative est "lisse" mais pas droite, comme celle du schéma, la croissance n'est pas la même en tout point. Elle « monte » ou « descend » plus ou moins.

Si on connait une formulation simple de la fonction on peut trouver la fonction dérivée permettant en tout point où elle est définie de calculer la dérivée nous donnant la pente de la tangente, la croissance de la fonction au point d’abscisse . Plus la dérivée a une grande valeur en un point, plus la courbe représentative de la fonction est « inclinée » en ce point.

Remarques :

  • Là où la fonction n'est pas "lisses" on ne peut pas calculer sa dérivée. On dit que la fonction n'est pas dérivable. (Il existe des fonctions qui ne sont "lisses" et donc dérivables en aucun point.)
  • La dérivée est unique (une fonction dont la dérivée existe n'a qu’une seule dérivée). Mais deux fonctions peuvent avoir la même dérivée ( f(x)=3x+2 et g(x)=3x+23 ont la même dérivée : f'(x)=g'(x)=3 ).

Sens de variation[modifier | modifier le wikicode]

Quand on parcours la courbe selon les valeurs croissantes de (vers la droite sur les abscisses), si la fonction « monte » , on dit qu'elle croît (ou qu'elle est croissante), si elle « descend » on dit qu'elle décroît (ou qu'elle est décroissante), si elle ne monte ni ne descend on dit qu'elle est constante. C'est ce qu'on appelle le sens de variation.

  • si est positive, est croissante autour de  ;
  • si , est constante autour de , a une tangente horizontale en .
  • si est négative, est décroissante autour de .

Calculs[modifier | modifier le wikicode]

Des formules permettent de calculer la dérivée de fonction dont l'expression est simple, comme par exemple , composés de fonctions dont les dérivées sont connues.

Règles de calculs[modifier | modifier le wikicode]

et étant des fonctions de .

Fonction Dérivée

Dérivée de fonctions de référence[modifier | modifier le wikicode]

Fonction Dérivée

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

. . est toujours positive sur (car ), la fonction est strictement croissante sur .

Utiliser la dérivée peut aussi permettre de lever des indéterminations sur les calculs de limites, quand on trouve une forme indéterminée du type : et .


Application[modifier | modifier le wikicode]

Exemple en physique[modifier | modifier le wikicode]

Une application parlante de la dérivation en physique.

Supposons qu'un mobile se déplace en ligne droite à une vitesse constante de 4 km/h , chaque heure, le mobile a avancé de 4 km.

On peut donc établir une fonction qui, en fonction du temps, nous donne la distance que le mobile a parcourue : (ici, représente le temps, en heures). C'est une fonction affine qu'on sait très bien dériver : . On retrouve la vitesse du mobile !

Donc, lorsqu'on a une fonction qui nous donne une distance parcourue en ligne droite par un mobile, la dérivée nous donne la vitesse de ce mobile.

Ceci est l'application la plus simple de la dérivée.

Plus intéressants, si on dérive la vitesse, c'est-à-dire la dérivée elle-même, on obtient l'accélération. Puisque la dérivée est une fonction, on peut dériver la dérivée, mathématiquement on appelle ça une dérivée seconde.

Dans le cas du mobile , , . Vitesse constante : le mobile n'accélère pas !

Dans le cas de la chute d'un corps lâché à un altitude sur terre dans le vide (sans frottement) : , , . L'accélération sur terre, deuxième loi de Newton

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