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Infini (mathématiques)

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8 renversé, symbole de l'infini

Dans le langage courant, le terme d’« infini » peut être vague ; mais, en mathématiques, l'infini se définit rigoureusement grâce à la théorie des ensembles. Il existe même différentes sortes d’infinis, certains plus « grands » que d’autres ! Le symbole de l’infini est un huit renversé que l'on nomme lemniscate (nom féminin) : .

De manière intuitive, on pourrait dire :

S’il n’existe aucun nombre entier (noté n) suffisamment grand pour que tous les entiers compris entre 1 et n suffisent à numéroter tous les éléments d’un ensemble, alors cet ensemble est infini.

Cela constitue la notion d’infini potentiel. Depuis les mathématiques grecques et jusqu'au XIXe siècle, l'infini potentiel fut la seule façon raisonnable pour les mathématiciens d'aborder l'infini.

Cependant, on dispose aujourd’hui d’une notion plus générale et plus puissante, que l’on appelle infini actuel :

Un ensemble est infini s'il existe une bijection entre lui et l’une de ses parties strictes.

Cela signifie qu’un ensemble E est dit infini quand on peut faire correspondre chaque élément de E à une partie de E (plus petite que E). L’illustration typique de cette définition est l’ensemble des nombres pairs (0, 2, 4, 6, …) :

  • on peut bien attribuer un numéro à chaque nombre pair : cela veut dire qu’il existe une bijection entre l’ensemble des nombres pairs et l’ensemble des entiers (les numéros) ;
  • or l’ensemble des entiers pairs est une partie stricte de l’ensemble des entiers : en effet, les nombres pairs sont des nombres entiers, mais les nombres entiers ne sont pas seulement les nombres pairs ;
  • donc il existe une correspondance (une bijection) entre chaque élément des nombres entiers et ceux d’une partie stricte de cet ensemble (les nombres pairs) ;
  • donc, d’après la définition de l’infini actuel, l’ensemble des nombres entiers est infini.


L'infini potentiel[modifier | modifier le wikicode]

Euclide, l'auteur des Éléments.

Dans ses Éléments, Euclide a mentionné qu'aucune quantité finie ne pouvait épuiser les nombres premiers. Cela signifie que, si l’on a un panier avec n’importe quel nombre de cerises à l’intérieur, on peut toujours numéroter chaque cerise de ce panier avec un nombre premier sans jamais arriver « au bout » des nombres premiers. Ce résultat (connu avant lui) est aujourd'hui appelé le théorème d'Euclide sur les nombres premiers. Euclide l'a énoncé avec beaucoup de précautions. Ce résultat a introduit le premier concept de l'infini : l'infini potentiel.

Interrogation.svg Qu'est-ce que c'est ?

Pour Euclide et ses successeurs, une collection d'objets est infinie si :

quand on met de côté n’importe quelle quantité de ces objets, il en reste toujours au moins un (différent des autres) dans la collection.

On dit alors que « pour toute énumération d'objets de la collection, celle-ci contient un nouvel objet qui leur est distinct ». L'infini potentiel est donc une quantité qu’on ne peut pas épuiser (on dit « inépuisable »).

Jusqu'à la Renaissance, les mathématiciens ont utilisé cette définition de l'infini. Pour des raisons théologiques, ils refusèrent de formaliser toute autre notion de l'infini.

L'infini actuel[modifier | modifier le wikicode]

Une injection est une application qui associe à chaque objet au plus une image ; c’est donc une application telle que, pour n’importe quels éléments et du même ensemble, si , alors forcément , puisque n’est « relié » qu’à et qu’à .

Un ensemble est fini1 lorsque toute injection de dans est une bijection. Un ensemble est infini lorsqu'il n'est pas fini, autrement dit lorsqu'il existe une injection qui n'est pas une bijection. Cela signifie que l'ensemble peut être mis en bijection avec une partie stricte.

Par exemple, la multiplication par 2 définit une injection de l'ensemble des entiers naturels dans lui-même. Son image est l'ensemble des entiers naturels pairs, elle n'est donc pas une bijection. Donc, l'ensemble des entiers naturels est un ensemble infini.

Jusqu'au XIXe siècle, il était hors de question de considérer, dans la théorie des ensembles, une injection qui ne soit pas également une bijection. Les mathématiciens refusaient de fait de manipuler des ensembles qui ne soient pas finis. Ils n'en voyaient pas l'intérêt.

Il faut attendre Cantor pour voir les premiers travaux sérieux sur les ensembles. Cantor était motivé par des questions compliquées relevant de l'analyse, même s'il n'appliqua pas ses découvertes aux problèmes qui l'avaient initialement motivés. Les travaux de Cantor se heurtèrent aux contestations, et il reçut en retour des attaques, en particulier de la part de Dedekind. Ils conduisirent à la crise des fondements : une remise en cause profonde des fondements des mathématiques au début du XXe siècle.

Le symbole de l'infini[modifier | modifier le wikicode]

Le symbole de l’infini est un huit renversé ; il a été inventé par le mathématicien John Wallis en 1655. Il se nomme lemniscate, ce nom commun s'employant au féminin.

Il y a différentes sortes d’infini.

Peut-on démontrer l'existence d'un ensemble infini ?[modifier | modifier le wikicode]

Voyons : comme il a été dit plus haut, l'ensemble des entiers naturels est un ensemble infini. Oui, mais comment définit-on cet ensemble ?

Eh bien, on part de 0, on ajoute 1, on obtient 1 ; on ajoute encore 1, on obtient 2 ; et ainsi de suite : 3, 4, 5,... Si on prend tout ce qu'on a obtenu, n'obtiendrait-on pas l'ensemble des entiers naturels ? Faux. Cette construction n'est pas autorisée. Sinon, en prenant tous les ensembles qu'on peut construire, on construirait de la sorte l'ensemble de tous les ensembles qu'on peut construire. Cet ensemble se contiendrait lui-même. Maintenant, en prenant tous les ensembles qu'on peut construire et qui ne se contiennent pas eux-mêmes (il en existe), on pourrait construire l'ensemble x de tous les ensembles constructibles et qui ne se contiennent pas eux-mêmes. Cet ensemble y serait un ensemble constructible. S'appartiendrait-il à lui-même ? Si y appartienait à y, alors par construction, y ne contiendrait pas y (absurde). Si au contraire y n'appartenait pas à y, alors par définition y ne se contiendrait pas (encore absurde). Une telle construction, si elle était permise, conduirait à une contradiction.

Pour en savoir plus, lis l’article : Paradoxe de Russell.

Mais alors, comment faire ? La construction de l'ensemble des entiers naturels repose en fait... sur l'existence d'un ensemble infini.

Pour en savoir plus, lis l’article : Construction de l'ensemble des entiers naturels.

Il est impossible de prouver l'existence d'un ensemble infini sans la supposer. Plus exactement, il est possible de définir une théorie des ensembles parfaitement cohérente qui affirmerait que tous les ensembles seraient finis. Mais elle serait peu intéressante.

L'existence d'un ensemble infini est donc un axiome sur lequel les mathématiques reposent : l'axiome de l'infini. C'est une propriété qu'on admet ; et on travaille avec.

Des échelles dans l'infini[modifier | modifier le wikicode]

Non seulement Cantor accepta de manipuler des ensembles infinis, mais en plus il démontra que l'ensemble des entiers naturels ne peut pas être mis en bijection avec l'ensemble des nombres réels. Un ensemble dénombrable est un ensemble en bijection avec l'ensemble des entiers naturels. Cantor démontra donc que l'ensemble des nombres réels est non dénombrable. Deux ensembles infinis ne sont pas forcément en bijection.

Cantor définit différentes « échelles » dans l'infini : ce sont les nombres cardinaux. Ces nombres sont ordonnés et on sait aujourd'hui comment les manipuler. En fait, la définition des nombres cardinaux repose non seulement sur l'axiome de l'infini mais aussi sur un nouvel axiome : l'axiome du choix. Cet axiome affirme que, dans toute famille d'ensembles, on peut « choisir » un élément dans chaque. Sous cette forme, cet axiome semble naturel.

Par contre, différentes propositions exclusives les unes les autres peuvent être formulées sur les cardinaux. On peut introduire de nouveaux axiomes sur les nombres cardinaux. Mais les logiciens ne savent pas trop lequel choisir.

Voir aussi[modifier | modifier le wikicode]

Notes[modifier | modifier le wikicode]

  1. Au sens de Tarski.
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