Cône (géométrie)

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Un cône de rayon r et de hauteur h.

Un cône est un objet tridimensionnel composé d'un cercle au centre duquel passe un axe. L'extrémité de cet axe, sommet du cône, est reliée à tout point de ce cercle pour former un solide.

L'objet géométrique

Volume

• On calcule la surface de la base B :

$B=\pi \times r^{2}$ (r est le rayon du cercle de base).

• h est la hauteur du cône. Le volume V vaut :

$V={\frac {1}{3}}\times B\times h={\frac {1}{3}}\times \pi \times r^{2}\times h$

Coniques

Intersection d'un plan et d'un cône de révolution

Les coniques sont une famille de courbes planes qui résultent de l'intersection d'un plan avec un cône de révolution.

Types de coniques

Selon les positions relatives du plan de coupe et du cône, on obtient différents types de coniques :

Quand le plan de coupe ne passe pas par le sommet du cône, on distingue trois sortes de coniques en fonction de l'angle d’inclinaison du plan de coupe avec l’axe du cône :

Hyperbole

Si cet angle d'inclinaison est inférieur à l'angle d'ouverture, l'intersection est une Hyperbole.

Si l'angle d'inclinaison est inférieur d'exactement 45° à l'angle d'ouverture du cône, cette hyperbole est une hyperbole équilatère (ce cas particulier n'existe pas si l'angle d'ouverture du cône est inférieur à 45°, c'est-à-dire si le cône est aigu).

Parabole

Si l'angle d'inclinaison est égal à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est une parabole.

Ellipse

Si l'angle d'inclinaison est supérieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est une ellipse.

Si l'angle d'inclinaison du plan de coupe est droit, cette ellipse est un cercle.

Coniques dégénérées

Dans le cas particulier où le plan contient le sommet du cône, les coniques sont dites dégénérées.

On distingue trois sortes de coniques dégénérées :

• Si l'angle d'inclinaison du plan de coupe avec l’axe du cône est inférieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est réduite à deux droites sécantes (deux génératrices du cône, passant toutes deux par le sommet du cône) ;
• Si cet angle d'inclinaison est égal à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est réduite à un droite (une des génératrices du cône passant par le sommet du cône, et où le plan de coupe et le cône sont tangents) ;
• Si cet angle d'inclinaison est supérieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est réduite à un point (le sommet du cône).

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Source : cette page a été partiellement adaptée de la page Cône (géométrie) de Wikipédia.